非线性连续混沌系统的模糊自适应控制

王仁明 刘 豪 赵长风 王凌云，2

(1. 三峡大学 电气与新能源学院， 湖北 宜昌 443002； 2. 三峡大学 新能源微电网湖北省协同创新中心， 湖北 宜昌 443002)

非线性连续混沌系统的模糊自适应控制

王仁明1刘 豪1赵长风1王凌云1，2

(1. 三峡大学 电气与新能源学院， 湖北 宜昌 443002； 2. 三峡大学 新能源微电网湖北省协同创新中心， 湖北 宜昌 443002)

本文针对一类非线性连续混沌系统，提出了一种直接的模糊自适应控制方法．该方法通过利用模糊系统逼近某个理想控制器来实现，而模糊控制器中参数的调整是使用梯度下降法设计的，即通过最小化理想控制器与模糊控制器之间误差的二次成本函数来实现．根据Lyapunov稳定性理论，分析了闭环系统的稳定性及跟踪误差的收敛性．最后，通过对Arneodo混沌系统Duffing混沌系统的数值仿真验证了该方法的有效性．

混沌系统； 模糊控制； 自适应控制； 梯度下降法

现代非线性控制理论的发展出现了许多控制和分析混沌系统的方法[1-2]．总的来说，控制混沌的方法有两类：反馈控制方法和非反馈控制方法．反馈控制方法包括OGY方法[1]，线性反馈控制法[3-4]，自适应控制方法[5-10]，模糊控制方法[7-9，11-15]和神经网络控制方法[8-9，12，16]等．非反馈控制方法包括参数扰动法和外部周期性驱动方法等[17-18]．这些方法并不是对所有的混沌系统都能有效地控制，因为不同的控制方法各有其优缺点，因此许多控制方法使用几种方法的结合．

模糊控制和自适应控制是两种被广泛使用于控制系统混沌行为的方法[6-7，11，19-20]．其优点在于模糊逻辑本身提供了由专家构造语言信息并将其转化为控制策略的一种系统推理方法，尤其是在处理推理系统和控制系统中不确定性和不精确性方面效果良好．T-S模糊模型就能够精确地表示一类高度非线性系统，这种模糊模型在不同的状态空间区域的局部动态能够被表示为线性模型，然后通过这些线性模型的模糊综合得到整个非线性系统模型，从而可以利用线性系统的分析方法研究混沌现象．在文献[7，21]中，研究者设计了SISO不确定仿射和非仿射非线性系统模糊自适应控制器，MIMO不确定仿射非线性系统的研究也可见文献[9，15，16]．此外，基于模糊系统的其它设计方法可见文献[11，20，22]．其中，文献[11]给出了一种自适应模糊控制的方法来控制两个分数阶混沌系统实现同步．文献[20]建立了不确定混沌系统的动态模糊神经网络模型并设计了神经自适应反演控制器．文献[22]则使用了基于模糊模型的参数自适应PID控制和滑膜控制来解决不确定混沌系统的控制问题．

在大多数应用中，模糊控制器的规则库是由专家知识来构造的，然而对于某些时变的，非线性不确定的复杂系统，建立完善的规则库比较困难．为了克服这一问题，一种基于通用逼近定理[21]和模糊系统的在线学习能力的模糊控制方案被提出．其中，模糊系统用于逼近一个未知的理想控制器，而模糊系统的可调参数则由自适应律更新[14，16，23]，这是一种非直接的自适应方法，这种方法存在控制器奇异问题的缺陷．因此，非仿射非线性系统的直接自适应模糊控制方法被提出[13]，文献[13]采用这种直接自适应控制方法来设计模糊控制器，其中，参数自适应律是基于Lyapunov方法设计的，而期望输出与实际输出之间的误差被用来更新可调参数．由于控制目标是用模糊控制器逼近未知的理想控制器，因此，直接使用理想控制器与模糊控制器之间的误差来调整模糊控制器的自由参数更为方便．

本文表达了一种非线性连续混沌系统的模糊自适应控制策略．模糊系统被用来自适应地构造一个未知的理想控制器，由于这种未知控制器的存在性可由隐函数存在定理保证，但它的构造方式却未知，于是，基于梯度下降法设计了模糊参数自适应律，以使得未知理想控制器与模糊控制器之间的误差达到最小．根据Lyapunov稳定性理论分析了闭环系统的稳定性．最后，通过两个混沌系统实例的数值仿真验证了该方法的有效性．

1 问题描述

考虑如下非线性单输入单输出(SISO)混沌系统：

其中，x=[x1，…，xn]T∈Rn是状态空间向量，u是控制输入，y是系统的输出，f(x，u)是未知的连续非线性函数．

本文的目标是设计模糊自适应控制器使得系统(1)的输出y(t)跟踪某个给定信号yd(t)，这里，yd(t)有界并有直到n阶导数．设跟踪误差e=yd-y，定义跟踪误差向量如下：

则由(1)，可以得到：

或者表示成如下矩阵形式

假设正常数向量k=[k0，k1，…，kn-1]T的选取使得矩阵Ac=A0-bkT是稳定的，因而，对于任意给定的正定矩阵Q，下面的方程存在唯一的正定对称解P．

定义信号v如下：

其中tanh是双曲正切函数，β是一个足够大的正常数，ε是一个足够小的正常数．

注：选取函数βtanh(bTPe/ε)是为了保证针对后面设计的模糊自适应控制器的模型误差具有一定的鲁棒性．此外，为了避免设计中可能出现的抖颤现象而选择使用tanh代替sign．

由式(4)得到：

(7)

由文献[19]可知，对于每对(x，v)，方程f(x，u)-v=0是可解的．因而存在一个理想的控制器u*(x，v)满足：

如果实际控制器u被选作理想控制器，即u=u*，那么式(7)就可以写成：

若选择Lyapunov函数为V=eTPe，则该函数沿(9)和(5)的微分

因此，跟踪误差e(t)和它的各阶导数e(i)(t)，(i=1，…，n-1)都随时间趋于零．

2 糊控制器设计

前面已经知道u*(x，v)是存在的，但其结构却是未知的．现在，用模糊自适应方法来构造该控制器．这里的模糊系统使用T-S模糊模型，输入为z，输出为y，如果为每个输入zi定义Mi个模糊规则Fij(j=1，…，Mi)，则模糊系统可由一组if-then规则描述[15]：

Thenyisykk=1，…，N，

引进文献[21]中的关于模糊基函数的概念，输出可以表示为如下形式：

其中θ=[y1，…，yN]T是一个参数向量，w(z)=[w1(z)，…，wn(z)]T是模糊基函数，定义为

式(10)是一个通用的逼近式，当参数选择合适时，可以很好地逼近一个连续函数[7]．

由此可知，理想控制器u*(x，v)可由式(10)逼近，因此，可将其表示为

其中z=[xTv]T，δ(z)是模糊逼近的误差，θ*是一个使得|δ(z)|的值最小化的参数向量，w(z)是一个合理选择的模糊基函数向量．

由于理想参数量θ*是未知的，因此，需要选择一个合适的自适应律来估计它．假设用θ作为θ*的估计值，那么系统(1)的控制律可选为：

3 自适应算法设计

本节为参数向量θ设计一个自适应算法使得模糊控制器(12)逼近未知控制器(11)，即所设计的自适应算法应使得误差量eu=u*-u尽可能小．由式(11)和(12)，eu可写为

(13)

利用中值定理可知存在一个λ∈(0，1)，使得f(x，u)在u*点可表示为

(14)

将(14)代入等式(7)并利用式(8)可得：

(15)

即

(16)

定义如下二次性能函数：

利用文献[24]中的梯度下降法来最小化性能函数(17)，则可得参数θ的自适应律由如下的一阶微分方程描述：

选择η(t)=η0fuλ，其中η0是一个正的常数，由式(16)，式(19)可写为

(20)

(21)

4 稳定性分析

定义如下函数：

由式(13)，(16)和(21)，(22)的导数可以表示为

利用如下不等式

式(23)的范围可表示为

由于θ*为常数，δ(z)和fuλ被假定有界，因此存在一个正的常数ψ，使得

‖

由此，式(26)能进一步简化为

式(28)两边积分可得

下面分析跟踪误差的收敛性，选择如下Lyapunov函数

对(30)微分，并利用式(5)，(13)，(15)可得

由(29)可知

由于w(z)，δ(z)，fuλ有界，由(32)可得

其中ψ1和ψ0是正常数．将式(33)代入(31)得到如下不等式

选择β≥ψ1，并利用不等式-xtanh(x/ε)+|x|≤κε，其中κ=0.278 5，式(34)可缩减为

‖e‖2+

2‖

其中λmin(Q)是矩阵Q的最小特征值．假定λmin(Q)>0.5，将式(36)重写为

‖bTP‖

其中αe=(λmin(Q)-0.5)/λmax(P)且λmax(P)是矩阵(P)的最大特征值．

5 数值仿真

例1：考虑Arneodo混沌系统，动态的方程如下

这是一个单输入单输出系统，若取参数b1=-5.5，b2=3.5，b3=1，b4=-1，此时系统的混沌吸引子和Lyapunov指数谱分别如图1～2所示．

图1 Arneodo系统的混沌吸引子

图2 Arneodo系统的Lyapunov指数随参数b4的变化

跟踪信号取为yd=sin(t)+cos(0.5t)．模糊系统的输入变量选为z=[x1，x2，x3]T，其中z1=x1，z2=x2，z3=x3，模糊系统的输出即理想控制器选为式(12)所示的形式，对于每个变量zi其隶属度函数定义为如下

其中图3为Arneodo系统的状态和指定的跟踪信号，图4为状态与跟踪信号的误差，图5为控制输出信号u．

图3 Arneodo系统的状态轨迹跟踪

图4 系统状态与跟踪信号的误差

图5 控制输出信号u

例2：考虑Duffing混沌系统，动态方程如下：

若取c1=-1.1，c2=1，c3=1，c4=ω=1.8，Duffing系统的混沌吸引子和状态分岔图分别如图6～7所示，系统的初始值取为x0=[0.5 0.5]T，隶属度函数依照例1建立，取参数η0=5，β=20，ε=0.01，σ=0.02，其余参数选取同例1，仿真结果如图8～10所示．

图6 Duffing系统的混沌吸引子

图7 Duffing系统的状态分岔图

图8 系统的状态轨迹跟踪

图9 系统状态和跟踪信号误差

图8为Duffing系统的状态与跟踪信号，图9为状态与跟踪信号的误差，图10为控制输出信号u．从上述两个例子，可以看到，混沌系统的状态能很好地跟踪给定信号，阐明了本文的方法对混沌系统的控制作用是非常有效的．

6 结 论

本文给出了一种非线性连续混沌系统的模糊自适应控制策略．采用模糊系统构造一个理想控制器，然后基于梯度下降法设计了模糊参数自适应律来不断逼近理想的控制器，以使得理想控制器与模糊控制器之间的误差达到最小，并根据Lyapunov稳定性理论分析了闭环系统的稳定性．由于设计的控制器并没有涉及到详细的系统内部结构，因此该方法适应于非线性程度较高的，常规控制方法难以奏效的系统的镇定．最后，通过Arneodo系统和Duffing系统的数值仿真验证了该方法的有效性．

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[责任编辑 张 莉]

Adaptive Fuzzy Control of Nonlinear Continuous-Time Chaotic System

Wang Renming Liu Hao1Zhao Changfeng1Wang Lingyun1，2

(1. College of Electrical Engineering & Renewable Energy, China Three Gorges Univ., Yichang 443002, China； 2. Hubei Provincial Collaborative Innovation Center for New Energy Microgrid, China Three Gorges Univ.，Yichang 443002, China)

This paper presents a direct method of fuzzy adaptive control for a class of nonlinear continuous chaotic systems. The method is established by using a fuzzy system in which parameters are adjusted by gradient descent to approximate an ideal controller, i.e.by minimizing the quadratic cost function of the deviation between the fuzzy controller and the ideal controller. The stability of closed-loop system and the convergence of tracking errors are analyzed by using Lyapunov stability theory. Numerical examples, including Arneodo system and Duffing oscillator, are given to illustrate the validity of the proposed adaptive fuzzy approach.

chaotic system; fuzzy control; adaptive control; gradient descent method

2016-09-14

国家自然科学基金(51407104)

王仁明(1964-)，男，教授，博士，主要研究方向为控制理论与控制工程．E-mail：eermwang@ctgu.edu.cn

10.13393/j.cnki.issn.1672-948X.2017.04.018

TP273

A

1672-948X(2017)04-0084-06