幂指函数求导法的探索

贺电鹏

摘 要 冪指函数是一种比较复杂的函数，传统的求导方法虽然也能解决求导这一问题，但运用起来比较繁琐，学生难以掌握，这样会造成学生在运用上的错误。本文在传统方法的基础上，结合新的理论知识，通过对幂指函数的求导方法的进一步探讨，总结出了三种相对比较简便的求导方法，并给出相应的例题，同时针对同一例题，给出不同的解法，来比较不同方法解决同一问题的难易程度。最终可见，这三种方法运用起来简单、易懂，从而会使学生容易接受，同时也降低了老师的授课难度。

关键词 幂指函数 求导 隐函数法 辅助函数法 多元函数求导法

中图分类号：0172.1 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkx.2017.07.019

The Explore of Power-exponential Function Derivative

HE Dianpeng

（Faculty of General Education， Zhengzhou Technology and Business University， Zhengzhou， Henan 451400）

Abstract The exponential function is a complex function， although the traditional derivation method can solve this problem by derivation， but is complicated， it is difficult to grasp， this will cause the students in the use of the error. This paper is based on the traditional method， combined with the new knowledge， through to further explore the function refers to the power， summed up the three kinds of relatively simple derivation method， and gives the corresponding examples， at the same time for the same example， give different solutions， the degree of difficulty to compare different solutions to the same a problem. Finally， it can be seen that the three methods are simple and easy to use， which will make students easy to accept and reduce the difficulty of teaching.

Keywords Power-exponential function； derivative； implicit function law； auxiliary function method； function of many variables derivation law

1 幂指函数的相关知识

形如 ①的函数称作幂指函数，其中都是关于的函数。[6]

它是一类较为复杂的函数，从某种意义上说，式①可以看做复合函数的延伸。近年来，这类函数的求导问题得到了广泛的研究，并总结出一系列的求导方法。比如，文献[4]主要从一元幂指函数的导数和多元幂指函数的导数两方面研究了幂指函数的导数；文献[5]主要从对数求导法、对数指数恒等变形，即，和构造辅助函数两方面介绍了幂指函数导数的求法。幂指函数求导法的新探索主要是在已有幂指函数求导法的基础上，为了解决更复杂的幂指函数求导问题，通过定理得形式，对幂指函数求导而进行的探索。[4][5]

2 常见幂指函数求导法的列举和应用[1-4]

2.1 显函数法

寻找幂指函数①与幂函数或指数函数的互化是我们想要的，考虑将幂指函数化为指数函数或幂函数的形式，然后进行求导，从而解决问题。将①表示为指数函数显然比表示为幂函数简单。因为，由式①及等式，指数对数恒等变形可将①表示如下形式： ②

对②可利用指数函数的导数公式及复合函数求导法则来求出，具体过程如下：

解对于（2）它是函数与的复合函数。已知 ③

其中又是复合函数，其导数是，将其代入③，有 ④

于是

故 ⑤

2.2 隐函数法

显函数法中主要技巧是通过对数指数恒等变形，把指数放到对数的真数上，再根据对数函数的性质将真数取到前面做系数，从而使求导不再困难。在显函数法中先取对数得

⑥

此时可利用隐函数求导法求出 同⑤。

2.3 常见幂指函数求导法在实际问题中的应用

例1 计算幂指函数的导数。

解（显函数法）利用对数恒等式将变形为函数，然后再利用复合函数的求导法则计算导数，得：

例2计算函数的导数。

解（隐函数法）两边取对数，，隐函数求导法，解得

以上两种方法是传统教材中讲授的方法，接下来，以定理的形式给书幂指函数求导方法的新探索，并附以每个定理的证明及应用，具体内容见下面一部分。

3 幂指函数求导方法的新探索

3.1 主要定理及证明[2][3]

定理1[7] 幂指函数的导数等于两个函数的导数之和：一个是把底数看作常数（指数看作中间变量）的指数函数的导数：另一个是把指数看作常数（底数看作中间变量）的幂函数的导数。即

。

定理2設幂指函数，且均可导，则有

证明令，，则，当取得增量时，也相应地得到增量。此时，有

上式中，当时，，这样有

所以

推论1

（1） 指数函数是常数）与幂函数 （是常数）均可认为是幂指函数的特殊情况，定理2显然成立。

（2）函数，、 可取基本初等函数也可以是六类基本初等函数经过四则运算而得到的函数，还可以是函数的复合函数。

（3）对于函数，由（2）和初等函数的定义[1]可以得到，当、 都是初等函数时，定理2仍然成立。

定理3 设多元幂指函数

且均可导，则有

其中时，；时，

定理4 设阶幂指函数

且

且均可导，则有

3.2 应用举例

有了3.1关于幂指函数的主要定理和结论，应用相关定理可以很方便地解决幂指函数导数的求解问题，具体举例如下。

例3 已知函数，求。

解 利用定理1有

例4 已知函数 ，求。

解法一 利用定理1有

解法二 令，其中。

利用定理2有

例5已知，求。

解 令，其中，

利用定理3有

例6已知，求。

解 令 ，其中。

利用定理4有

在求幂指函数的导数时，还是应该遵循由浅入深，由简及难的原则。

观察幂指函数导数的形式，我们提出了幂指函数的一种新的求导方法——辅助函数法[5]，这种方法根据幂指函数的形式特征，充分利用了幂函数和指数函数的求导公式，具体步骤如下：

（1）对幂指函数取辅助函数为常数；

（2）求对的导数，其结果等于对的导数，

（3）把上式中的换成，换成得到

。

这种方法所用知识点主要涉及一般的初等函数求导法，学生此部分掌握熟练，易于上手，可以开阔学生思路。下面，举例说明：

例7 已知 ，求。

解法一 上式两边取自然对数1n =cos 1n sin ，两边对求导数，解得 ，

。

解法二 对幂指函数取辅助函数

，求对的导数：

。把上式中的换成sin ，换成cos（）则有。

观察上题的两种解法，不难发现，第二种解法算起来简便，不易出错，但这样做有没有道理呢？下面我们就一般情况给出证明。

命题1 如果函数 在区间内均可导且，则幂指函数的导数为把它看作幂函数求得的导数与把它看做指数函数求得的导数的和。

证 由导数的定义，有

其中：

，

。 即为把幂指函数看作幂函数时求得的导数。

下面证明为把它看作指数函数时求得的导数，令，则有

由于

因此，命题得证。

4 小结

对于一般的幂指函数，我们采用以上几种方法，算起来简单易行，特别是公式法，直接套用公式，可以使思路变得简单，有助于学生掌握.而通过其它几种方法，如辅助函数法，在计算比较复杂的幂指函数时，可以使计算变得更加简单，避免了学生在计算中的错误，提高了学生计算的准确率，使教师在教学中也得以简单易行。我们只有在以后的工作和学习中，善于利用自己已有的知识，并不断探索，以求更新的方法，来解决幂指函数的求导问题，使幂指函数导数的求法更加简单化。

参考文献

[1] 同济大学数学教研室.高等数学[M].高等教育出版社，2000.

[2] 周光明.幂指函数的求导公式[J].数学理论与应用，1999.19（4）：39-40.

[3] 华东师范大学数学系.数学分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2001.

[4] 樊志良.幂指函数的求导方法[J].中北大学学报，2006.27（1）：8-10.

[5] 李莉.幂指函数求导的一种新方法——辅助函数法[J].河北师范大学学报（教育科学版），2008.10（2）：59-60.

[6] 李宏杰.幂指函数导数的计算方法探讨[J].科技创新导报，2015（14）：20-23.

[7] 刘坤.关于幂指函数求导法则的进一步讨论[J].常州工学院学报，2004.17（6）：1-2.