函数最值的应用实例

刘君

阳光总在风雨后，请相信有彩虹，为什么只有在风雨后的明媚阳光下才有可能看见美丽的彩虹呢？大家都知道彩虹的出现与光是息息相关的，而法国数学家费尔马在研究光线的反射和折射后得出结论：自然界总是通过最短的途径发生作用的，叫“最小作用量原理”，而他的本质就是数学中的函数最值。

今天我们就利用数学建模的思想和方法，借助于最值的知识解释这为什么雨后晴天才有可能看见彩虹？首先我们一起来分析彩虹的成因。古时候总有神迹等迷信的说法，现在看来可笑之极。其实我国有些古人就很注重观察自然现象，对彩虹有了科学的解释。沈括在在《梦溪笔谈》中说：“虹，日中雨影也。日照雨，则有之。唐代张志和《玄真子》中说道：“背日喷乎水，成虹霓之状。”可见，彩虹是由于阳光射到空中的水滴里，发生反射与折射造成的。

一般雨后空气中含有一定的水蒸汽，由大量的水滴组成，当太阳光照在水滴表面，会发生光的折射和反射现象，而彩虹是光经过折射，反射，再折射的这条光路造成的，物理上把射入水滴的太阳光叫做入射光线，在小水滴里经过反射和折射出的光线叫出射光线。其实大家在高中时学习物理知识都知道，每一次反射和折射都是相伴发生的，因此这个过程伴随能量的损失，而达到观察者眼中的只有走这条路径的光线，只是光线的一部分。

有的同学会问“为什么彩虹一般都出现在夏天呢？”那是因为夏天气温高，雨后空气中含有一定量的小水滴，而冬天气温较低，在空中不容易存在小水滴，下阵雨的机会也少。所以出现彩虹的最好气候是夏天雨后的晴天。好，有了这些气候条件是不是就一定能看见彩虹了呢？不是吧，不是每个夏天雨后的晴天都能看见彩虹，这就还要看太阳，水蒸气云，与人三者的相对位置，因此关键要看光线由入射到出射是怎样偏离的。为了简化我们假设空气中的小水滴为球型。取一束光线进行光路分析，延长入射光线和反向延长出射光线，人眼看见的便是这个虚像点，看起来，像是光线被人为的折断变向一样，发生了偏离，这个入射光线和出射光线之间的夹角称为偏离角D。

太阳光是一束平行光线，射到水滴表面，我们只考虑上表面的光线，下表面的光线对称出射到空中，人不可能接受到。由于入射情况各有不同，产生的偏离情况也不同。那到底我们接受到那个角度的光线最可能看到彩虹呢？查阅资料可知，当某一波长的入射光线具有某一入射角时，出射光线的偏离角具有最小值，意味着，这个方向的出射光线最强，最容易看到明显的彩虹。此因我们想找到最佳的观测位置，本质上就是要找出偏离角关于入射角的函数，并讨论其最小值问题。

通过以上分析下面我们进行模型假设，假设气候条件是夏天雨后的晴天，空气中的小水滴假设是球型，并假设α是入射角，β折射角，D为偏离角是关于α、β的函数。建立数学模型，当一束光以入射角α到达水滴表面A时，将有一部分光发生折射，形成折射角β，光线到达B以后有有一部分光反射，到内壁的第三个点C处，有一部分光再次发生折射。在整个过程中，水滴的入射光和最后的出射光形成了偏离角，它是由α、β决定的。下面我们利用几何知识求出偏离角D关于α、β的函数，延长这条折射光线AB交EC于点F，构成三角形AEF，偏离角D是这个三角形的一个外交，由定理三角形一外交等于与它不相邻两内角和，所以，再看三角形CBF，这个角EFA又是S的一个外交，所以角，将角EFA带入上式，偏离角D等于这三个角的和。而角EAF它等于α-β，因为角EFO与入射角α是对顶角，对顶角相等，所以角EAF它等于α-β，根据对称性，角BCF等于角EAF都等于α-β。，所以偏离角D就等于化简偏离角，大家注意这里入射角和出射角有限制，是介于0到.。这里有两个未知数α、β，我们来寻找这两者间有什么关系呢？由光的折射定律，折射率是等于入射角和折射角正弦的比值，所以，將β代入偏离角函数，这样就找到了偏离角D关于入射角α的函数。通过前面的分析大家知道看见彩虹的时机，就是偏离角取最小值的时候，这样实践问题就转化为求这个函数的最小值问题了。进行模型求解，通过模型分析大家知道了就是要求这个函数的最小值，按照上节课总结的解题步骤，首先要确定自变量的取值范围，然后对函数求导，求出导函数，观察导函数没有不可导点，只需要令导数等于0，求驻点，大家不妨计算一下，得到0到区间内唯一的驻点这唯一的驻点是不是最小值点呢？这里有个特殊情况，在实际问题中，如果可导函数在区间内必有最大（小）值且函数在区间内只有唯一的驻点，则此驻点就是要求的最值点。最后得出结论偏离角的最小值点为。观察最小值点，发现里面含有系数K，对他是折射率，通过资料查阅可以得到空气与水的相对折射率是三分之4，代入计算的出α=59.4度，将最小值点代入原函数，得到偏离角最小值约为138度。

也就是说，当入射光和出射光形成的偏离角为138度时，最容易看见彩虹。为了更直观的解释，这里我们引入一个彩虹角，也就是当太阳光与地面水平时，观看彩虹的仰角。显然彩虹角等于偏离角的补角，这个彩虹角就是42度，这样可以更形象的解释，当太阳光线和人的视线夹角为彩虹角42度时，才可以看见彩虹。那为什么我们看见的彩虹是7彩的呢？

这是因为刚才是以白光的平均折射率得到的结果，其实太阳光本身含有不同频率的色光，不同频率的色光对于同一个介质的折射率并不相同，因此太阳光通过水滴时，不同颜色的光因折射率不相同而形成色散。

由于白光是由红，橙、黄、绿、青、蓝、紫7色组成，其中红光的折射率最小，紫色的折射率最大，其它5中颜色的折射率按照这个顺序介于两者之间。如果分别把这7种光的折射率代入刚才的模型，可以求出7中光的彩虹角各不相同，红光的为42.3，紫光的为40.6，其它的介于两者之间，这就是为什么我们看见的彩虹分为红，橙、黄、绿、青、蓝、紫顺序排列的原因。

同学们，是不是很神奇呢？最值在生活中无处不在，今天这个实例是最值在物理中的应用，其实最值还可以应用在生产中用料最省、经济学中利益最大、成本最低等等等等。无论什么类型的最值问题其实解决过程都可以简洁的概括为两点：1、将实际问题转化为数学模型；2、用合理的数学知识对模型进行求解并解释现象。同学们知道了彩虹的成因，那我问问大家知不知道霓极其霓的成因呢？有兴趣的同学可以课下查阅相关资料，用数学知识去深入了解它吧。endprint