借助一题多解提升教学效果

李正耀　冯建中��

摘要：对于高等数学课程中的一些典型例题，通过一题多解可以从各个方面来研究讨论其解法，可以帮助学生梳理知识难点，培养学生发散思维能力，激发学生学习积极性，显著提升教学效果。

关键词：一题多解；高等数学；教学效果

中图分类号：G4文献标识码：Adoi：10.19311/j.cnki.16723198.2017.22.088

1引言

《高等数学》是高等院校通用专业一门非常重要的学位基础课，其思想和方法贯穿到各专业后续专业课程的方方面面。但是，该课程存在知识点众多、题目计算复杂、题型复杂多变等显著特点，往往会引起同学们的厌学情绪。一题多解是一种发散性解题思维，通过典型例题的一题多解讨论分析，能激发学生的学习热情，提升教学效果。

2一题多解在《高等数学》课程教学中的具体应用

例1计算limx→0cosax-cosbxx2。

法一：这是典型的00型积分计算，可以采用洛必达法则计算：

limx→0cosax-cosbxx2=limx→0bsinbx-asinax2x=limx→0b2cosbx-a2cosax2=b2-a22

法二：表达式分子可以理解为余弦之差，利用和差化积公式以及等价无穷小代换可得：

limx→0cosax-cosbxx2=limx→0-2sina+b2xsina-b2xx2=limx→0-2a+b2xa-b2xx2=b2-a22

法三：利用cosx的泰勒展式cosx=1-x22+o（x2），可以得到：

limx→0cosax-cosbxx2

=limx→01-（ax）22+o（x2）-1-（bx）22+o（x2）x2

=limx→0（bx）22-（ax）22+o（x2）x2=b2-a22

例2求不定积分∫secxdx。

法一：∫secxdx=∫1cosxdx=∫cosx1-sin2xdx=12∫11+sinx+11-sinxdsinx

=12ln1+sinx-12ln1-sinx+c=12ln1+sinx1-sinx+c

=ln1+sinxcosx+c=lnsecx+tanx+c

法二：也可直接利用∫cscxdx=lntanx2+c得到一种新的解法：

∫secxdx=∫1cosxdx=∫1sin（x+π2）dx=∫csc（x+π2）dx=lntan（x2+π4）+c

法三：利用万能公式代换，可以有如下解法：

令y=tanx2，则dx=2dy1+y2，cosx=1-y21+y2，此时

∫secxdx=∫1cosxdx=∫1+y21-y2·2dy1+y2=∫11+y+11-ydy=ln1+y1-y+c

=ln1+tanx21-tanx2+c=ln1+sinxcosx+c=lnsecx+tanx+c

法四：利用tan′x=sec2x，sec′x=secxtanx，可做如下换元，令y=secx+tanx，dy=sec2x+secxtanxdx：

∫secxdx=∫secx·dysec2x+secxtanx=∫dysecx+tanx

=∫dyy=lny+c=lnsecx+tanx+c

分析：这是高等数学中关于三角函数的基础积分计算题，通过本题多解，可以引导学生寻曲探幽，久而久之，最后可以形成学生自己的推理能力，应用知识的能力，在实践中得出最佳解题方法，实现从感性认识到理性认识的飞跃。

例3写出直线l：3x-4y+5z+6=02x-5y+z-1=0的对称式方程。

法一：由直線的点向式要求可知，我们只要找到直线上的任意一点以及其方向向量即可。观察直线方程消去变量z，可得7x-21y=11，再令y=1可解出该直线上一点327，1，-227。由于两平面的交线与这两平面的法线向量n1={3，-4，5}，n2={2，-5，1}都垂直，所以可取

s=n1×n2={3，-4，5}×{2，-5，1}={21，7，-7}=7{3，1，-1}

故该直线的对称式方程为：x-3273=y-11=z+227-1

法二：结合方法一，再令y=2，可得该直线另一点为537，2，-297；所以该直线过

327，1，-227、537，2，-297两点，其方向向量可取：

s=537，2，-297-327，1，-227=（3，1，-1）

故该直线的对称式方程为：x-3273=y-11=z+227-1

法三：直接把变量x作为基础，解出x=x，x=21y+117，x=-21y-347，所以此时直线方程为：l：x1=21y+117=-21y-347

最后化简可得该直线的对称式方程为：

l：x3=y+11211=z+3421-1

3结论

在高等数学课程教学中，通过以上典型例题的一题多解方法讨论，激发了学生的学习积极性，加深了对于这些知识点的理解与运用，开拓了学生的思维，对于整个高等数学课程教学都大有裨益，能显著提升教学效果。

参考文献

[1]同济大学数学系编.高等数学[M].上海：同济大学出版社，2014.

[2]董锦华，耿秀荣.高等数学一题多解样例教学中的变式思维[J].贵州工程应用技术学院学报，2016，34（1）：132138.

[3]冯建中.一题多解在复变函数教学中的应用研究[J].现代商贸工业，2012，（20）：133134.endprint