关于p-凸函数的不等式

时统业,李 军

(海军指挥学院 信息系,南京 211800)

关于p-凸函数的不等式

时统业,李 军

(海军指挥学院 信息系,南京 211800)

已有文献证明了h-凸函数的h-左导数、h-右导数的存在性和单调性.p-凸函数是h-凸函数的特例,所以p-凸函数的单侧导数存在且单调.借助单侧导数建立了p-凸函数的积分不等式,从而得到p-凸函数的加权Hermite-Hadamard型不等式的加强.

p-凸函数; h-凸函数; Hermite-Hadamard型不等式; 积分不等式

式(1)即Hermite-Hadamard不等式.

文[1,2]给出了由式(1)生成的两个差值的估计.

定理1[1,2]设h:[a,β]→ℝ是凸函数,则有

定理2[3]设是[a,b]上的凸函数,则有

作为凸函数的推广,文[4]引入p-凸函数的概念.

定义 1[5]设I⊆ℝ,若对任意x1,x2∈I和任意则称I为p-凸集.

定义 2[4,5]设I(⊆ℝ)是 p-凸集,f:I→ℝ,若对任意x1,x2∈I和t∈[0,1],存在或使得

则称 f为I上的p-凸函数.若不等式(2)的不等号反向,则称f为I上的p-凹函数.

若f为I上的正的p-凸(凹)函数,则f-1是 I上的 MH-凹(凸)函数[6].

文[5]讨论了单调p-凸函数的性质.文[7]利用凸函数与p-凸函数的关系建立了p-凸函数的Hadamard型不等式.文[8]从p-凸函数的定义出发建立了p-凸函数的Hadamard型不等式.

定理3[7,8]设f是[a,b](⊂(0,+∞))上的p-凸函数,则有

2001年,王良成在文[12]中引入了h-凸函数和h-导数的概念.

定义 3[12]设 h是[a,b]上的连续严格递增函数,f是定义在[a,b]上的函数,若对任意时,有

则称f是[a,b]上的h-凸函数.

定义 4[12]设x0∈(a,b),若极限存在,则称之为 f在x0处关于 h的左(右)导数,记为此时称f在x0处关于h-左(右)可导.

通常的凸函数就是h(x)=x时的 h-凸函数.一些由二元幂平均给出的凸函数对应着 h-凸函数.比如可以证明,f为调和平方凸函数[13]当且仅当是-凸的.f为 GH-凸函数[14]当且仅当是lnx-凸的.p-凸函数就是当h(x)=xp时的 h-凸函数,这是因为对任意有式(2)成立当且仅当对任意当 x1＜x＜x2时,有式(5)成立.

由于 p-凸函数是凸函数的推广,一个自然的想法就是将关于凸函数的结果推广到 p-凸函数.本文仿照文[1]的方法,建立p-凸函数的Hermite-Hadamard型不等式.为此,需先证明p-凸函数的单侧导数的存在性和单调性,并建立 p-凸函数与其单侧导数的联系,这只需要利用文[12]的结果.综合文[12]的性质和定理,有下面的

引理1[12]设f是[a,b]上的h-凸函数,则

(ⅰ)f在(a,b)内各点处的单侧导数存在;

(ⅲ)对任意 x∈[a,b],y∈(a,b),有

受文[3]的启发,有下面的

本文所采用的思想方法还可参见文[15]和[16].

主要结果

对任意 x∈[y,b],有

将式(7)和式(8)乘以p(x),分别在[a,y]和[y,b]上对x积分,然后将所得的两个不等式相加,注意到

式(6)得证.

注1 由式(9)和式(10)得到定理3所给p-凸函数的Hadamard型不等式左边部分的加强.

证明 由引理2(ⅱ)知式(11)的左边不等式成立.由引理2(ⅲ),对任意x∈[a,y],有

对任意x∈[y,b],有

以下证明类似于定理4,这里从略.

推论2 设f是[a,b](⊂(0,+∞))上的p-凸函数,且皆存在,则有

注2 由式(11)和式(12)得到定理3所给p-凸函数的Hadamard型不等式右边部分的加强.

注3 式(13)和式(14)是定理2所给凸函数的不等式在p-凸函数中的推广.

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Inequalities for p-Convex Functions

SHI Tongye,LI Jun
(Department of Information,PLA Naval Command College,Nanjing 211800,China)

The existing literatures have shown that the left and right h-derivatives for h-convex functions are monotone.p-convex functions is a special case of h-convex functions,so unilateral derivatives of p-convex functions are monotone.With the aid of unilateral derivatives,we established inequalities for p-convex functions,and obtain weighted Hermite-Hadamard type inequalities for p-convex functions.

p-convex function,h-convex function,Hermite-Hadamard type inequality,integral inequality

O178 文献标识码: A 文章编号: 1672-5298(2017)02-0001-05

2017-02-26

时统业(1963-),男,河北张家口人,硕士,海军指挥学院信息系副教授.主要研究方向: 基础数学