巧用一元二次方程的“B B超单”

金杨建

巧用一元二次方程的“B B超单”

金杨建

漫画欣赏：

从上述漫画，我们可以看出，通过一元二次方程的根的判别式Δ可以判断这个方程根的情况.这相当于给一元二次方程做“B超”.也就是说，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）：

当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；

当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；

当b2-4ac＜0时，方程没有实数根.

反之，通过一元二次方程根的情况，也可以知道此方程判别式Δ的情况.因此，巧用一元二次方程的判别式Δ这一“B超单”，能快速、简捷处理一元二次方程中涉及根的情况的问题.

一、正用：研究Δ与0的关系，判断方程根的情况.

例1（2017·扬州）一元二次方程x2-7x-2=0的实数根的情况是（）.

A.有两个不相等的实数根

B.有两个相等的实数根

C.没有实数根

D.不能确定

【分析】此方程的判别式b2-4ac=57＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故选A.

例2（2016·白银）已知关于x的方程x2+ mx+m-2=0.

（1）若此方程的一个根为1，求m的值；

（2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根.

【分析】（1）把x=1代入方程即可得到一个关于m的一元一次方程，解该方程即可；（2）要证明一元二次方程有两个不相等的实数根，只要证明原一元二次方程的根的判别式为正数即可.

（1）解：把x=1代入方程x2+mx+m-2=0得1+m+m-2=0，解得m=-

（2）证明：Δ=m2-4（m-2）=（m-2）2+4

∵（m-2）2≥0，

∴（m-2）2+4＞0，即Δ＞0，

∴此方程有两个不相等的实数根.

例3（2017·北京）关于x的一元二次方程x2-（k+3）x+2k+2=0.

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围.

【分析】（1）求方程的根的判别式Δ，观察其与0的关系，进而求解；（2）由因式分解法可将方程化为（x-2）（x-k-1）的形式，解出两根即可.

（1）证明：∵Δ=（k+3）2-4（2k+2）=k2-2k+1=

（k-1）2≥0，∴方程总有两个实数根.

（2）解：∵x2-（k+3）x+2k+2=（x-2）（x-k-1）=0，∴x1=2，x2=k+1，∵方程总有一个根小于1，∴k+1＜1，∴k＜0，即k的取值范围为：k＜0.

【方法总结】若要不解方程判断方程根的情况，则需要先将一元二次方程写成ax2+bx+ c=0（a≠0）的形式，然后求出Δ的值，并与0进行比较.

二、反用：根据方程根的情况，得到Δ与0的大小关系

例4（2017·益阳）关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1=1，x2=-1，那么下列结论一定成立的是（）.

A.b2-4ac＞0

B.b2-4ac=0

C.b2-4ac＜0

D.b2-4ac≤0

【分析】关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1=1，x2=-1，，说明一元二次方程有两个不相等的实数根，所以b2-4ac＞0，因此选A.

例5（2017·南通）若关于x的方程x2-6x+c=0有两个相等的实数根，则c的值为_______.

【分析】∵x2-6x+c=0有两个相等的实数根，∴Δ=36-4c=0，解得c=9.

例6（2017·宁夏）关于x的一元二次方程（a-1）x2+3x-2=0有实数根，则a的取值范围是（）.

【分析】根据关于x的二元一次方程有实数根，得Δ≥0且a-1≠0，即32-4（a-1）·（-2）=9+8（a-1）≥0，a-1≠0，解得a≥--且a≠1.故选D.

【方法总结】根据题目信息，判断方程根的情况，特别要注意的是：①方程有两个相等的实数根、方程有两个不相等的实数根、方程有实数根，这三句话的含义是不相同的；②对于一元二次方程ax2+bx+c=0有一隐含条件a≠0，这一信息千万不能被忽略.

（作者单位：江苏省无锡市天一实验学校）