基于建构主义的高中数学教学设计案例及分析

廖婷+库在强

【摘要】建构主义理论作为一种全新的认识论论，在知识观、学习观、教学观等方面对教师提出了新的要求。目前许多研究者基于建构主义理论提出了一系列教学设计，但很少具体到数学实际课堂。基于这一现状，本文把研究重点放高中数学教学设计和教学实施过程上，提出知识是学生主动建构的过程、创设情景是教学的重要环节、合作交流是学习的重要方式等教学启示，并由此给出具体的高中数学必修5二元一次不等式（组）与平面区域的教学设计案例及分析。

【关键词】建构主义；高中数学；教学设计；案例

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2017）07-0253-02

一、建构主义学习理论的主要观点及教学启示

建构主义学习理论的主要观点：（1）知识观。建构主义强调知识不是主体对客体简单、被动的反映，而是主体通过已有的知识经验为依托进行积极主动的建构过程。这就要求教师在教学中充当辅导者、引导者、合作者，将课堂还给学生，让学生成为学习的主人；（2）学习观。建构主义强调人的知识本质是主体的“构造”过程。这意味学生在学习中，往往是以原有的知识经验和认识结构为基础，对新知识进行编码，而这个过程中需要学生独立思考，必要的时候还需要老师的指导；（3）教学观。建构主义认为教师不是简单地将知识呈现或传递给学生，而是促进、帮助学生主动建构的过程。这就要求教师创设一个有利于学生知识建构的学习环境，以支持和帮助学生建构知识，从而激发学生学习兴趣。

建构主义学习理论对高中数学教学的启示：（1）知识是学生主动建构的过程。在治学求进的过程中，教师首先要让学生感受到他们才是学习的主人，尊重不同学生的情感、思维、兴趣、爱好，允许学生对问题的不同看法。学生只有在身心自由时，才有可能进行自主学习，进而养成自主学习的习惯，最后让学生掌握建构知识的学习方法。（2）创设情景是教学的重要环节。在创设教学情景中，教师首先考虑学生的实际情况，其次是注意情景的真实性、可接受性、诱发性、层次性，最后创设出一系列吸引学生的教学情景，如信息情景、生活情景、悬念情景等。（3）合作交流是学习的重要方式。在合作交流的过程中，就要求教师合理建组、科学分工。

二、建构主义学习理论下高中数学微课教学设计案例及分析

下文以“二元一次不等式（组）与平面区域”一节的教学设计为例，从实际现实情景中抽象出数学模型，引发一系列学生感兴趣的问题。在整个课堂中，教师注重学生原有的认知水平，引导学生主动学习，并积极参与课堂探索过程中，培养学生之间良好的合作精神。

1.创设情景，引出课题

通过PPT课件展示：牛奶和果汁。妈妈希望明明多喝牛奶，以保证每天充足的营养，但明明更喜欢喝果汁，为了让妈妈放心明明的营养问题，又让明明可以喝上果汁，一起对营养早餐做一个合理的安排。

设计意图：教师提出的问题是现實生活中的真实生活情景，帮助学生进行主动建构知识。

牛奶、果汁中都含有两种重要的营养元素M、N元素，每立方分米牛奶中含有营养素M、N分别是2mg、1mg，每立方分米果汁中含有营养素M、N分别是1mg、2mg，成人每天需要的M元素为12mg，每天需要的N元素为18mg，每天喝多少立方分米牛奶和果汁才能满足营养要求？

设每天喝牛奶和果汁各x、y（x、y属于正整数）立方分米，才能满足营养要求。

则：

求解二元一次方程组（方法：代入消元法、加减消元法）。

变式：如果明明每天需要的M元素不少于12mg，每天需要的N元素为不多于18mg，又有什么样的式子呢？

，等价于：

设计意图：充分考虑学生认知水平，设计从二元一次方程（组）到二元一次不等式（组）的过渡。总结得出：含有两个未知数，且未知数的次数是1的不等式称为二元一次不等式，且由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组[7]。

2.知识回顾，探索方案

一元一次不等式（组）的解集可以表示为数轴上的区间，那么二元一次不等式（组）的解集该如何表示呢？

引导学生发现：满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成有序数对（x，y），而有序数对（x，y）与平面直角坐标系内的点一一对应。

设计意图：引导学生利用数形结合的思想，求解二元一次不等式（组）。

3.归纳探究，形成概念

首先探究2x+y-12≥0在平面直角坐标系内的图形表示。为了解决这个问题，先研究2x+y-12=0在平面直角坐标系中的图形表示。

如图1，在平面直角坐标系中，2x+y-12=0表示一条直线，平面内的点被直线2x+y-12=0分成3类：在直线2x+y-12=0上的点；在直线2x+y-12=0右上方的区域内的点；在直线2x+y-12=0左下方的区域内的。

满足2x+y-12>0的点有哪些？在直角坐标系中任意取一点代入2x+y-12，会有怎样的猜想？

图1直线的示意图；图2直线右上方任意点；图3不等式组表示的平面区域。

猜想：2x+y-12>0表示2x+y-12=0右上方点组成的平面区域。

设计意图：由于直线将整个坐标平面仅分为两个区域，因此只需要在平面中任取一点带入不等式左边的表达式，判断与0的大小关系，进而得出猜想，以便自然过渡猜想的证明。

证明：2x+y-12>0表示2x+y-12=0右上方点组成的平面区域。

如图2，在2x+y-12=0右上方任取一点P（x，y1），过点P作平行与y轴的直线交直线2x+y-12=0于A（x，y2），则y1>y2，

∵2x+y1-12-（2x+y2-12）=y1-y2>0。endprint

∴2x+y-12>0表示2x+y-12=0右上方点组成的平面区域。

证明发现，只需要取一个点就可以判断不等式所表示的区域。最后进一步得出结论：

结论一：线定界。一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax+By+Cy>0表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域，此时直线画成虚线，表示区域不包括边界，不等式Ax+By+Cy≥0表示平面区域包括边界，把边界画成实线。

结论二：特殊点定界。在二元一次不等式中，当常数C不等于0时，可以取特殊点原点（0，0），代入不等式中，判断不等式表示的区域。

设计意图：通过证明得出二元一次不等式（组）表示的平面区域的作图方法，进一步使学生回忆思考作图过程，深刻理解结论1、2，从而突破本节课的难点。

1.前后呼应，解决问题

掌握了二元一次不等式表示的平面区域，那么二元一次不等式组表示的平面区域呢？

分析：由于所求平面区域点的坐标同时满足四个不等式，因此二元一次不等式组表示的平面区域是各个不等式表示的平面区域的交集，即各个不等式表示的平面区域的公共部分。

设计意图：通过类比一元一次不等式（组）解的表示方法，发现二元一次不等式组表示的平面区域也是各个不等式表示的平面区域的交集，更加易于理解和记忆。

课前实际问题，解题步骤如下：

解：不等式2x+y-12≥0表示的是直线2x+y-12=0右上方的区域，不等式x+2y-18≤0表示的是直线x+2y-18=0左下方的区域，不等式x≥0表示x轴上方的区域，不等式y≥0表示y轴右方的区域，取四个区域重叠的部分，如图3中阴影部分（整点坐标）就表示原不等式的解集。明明每天喝的牛奶和果汁只要控制在阴影区域，就可以达到营养要求。

设计意图：呈现实际问题的解题步骤，有利于学生注意解决同类问题解题步骤。

多个不等式表示的区域，如何不重不漏的表示出来？

采用先画出边界，然后再利用方向箭头来表示该不等式表示的区域，最后确定公共部分。这种方法又快又准，且不容易出错。

设计意图：引导学生发现解决问题的便捷方法，有利于培养学生的创新精神。

1.拓展知识，巩固发展

明明通过阅读报纸，发现牛奶和果汁中含有一种特殊的营养元素Q，每立方分米的牛奶和果汁中含有Q营养元素分别是3mg、2mg，问每天喝多少立方分米果汁和饮料，才能吸收最多的Q营养元素？

设计意图：该题是在课前实际问题的基础上提出来的，属于最优化问题，为下一节简单的线性规划问题做铺垫。在授课中教师可提醒学生通过预习下一节内容，就可以解决这个问题。此设计有利于让学生感受知识的连贯性和挑战性。

1.归纳小结，作业布置

通过本节课的学习，引导学生构建本节课所学知识点，并根据学生的实际情况布置必做题和选做题，具体作业如下：

必做题：课本习题3.3A组第1题，B组第1題。

选做题：请画出下列不等式组所表示的平面区域，若实数x、y满足不等式

设计意图：课堂小结有利于帮助大部分学生梳理本节课所学知识点，以及引导个别成绩较差的学生说出心中疑惑。作业布置中的必做题和选做题的形式，帮助不同学习层次的学生达到自我的学习目标。

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.新课标高中数学课程标准[M].北京：人民教育出版社，2016.endprint