数学在土木中的应用分析

刘涛

摘要：在新时期的社会发展中，土木工程专业是一门较为基础的学科，数学知识在其研究实践过程中占有极其重要的地位。在土木工程的学习与研究中，我们需要应用很多以数学理论为基础而推导所得的公式。本文通过简单介绍最小二乘法、矩阵、微分方程的应用，并且简单结合数学的常用性和必备性，来分析数学在土木工程中的应用。通过这些介绍，希望能使我们更好的了解数学理论的必要性和重要性。

关键词：数学；土木；应用；分析

数学在历史发展和生产生活中发挥着无可替代的作用，也是人类进行现代学习和研究中不可或缺的一项基本工具。目前，世界上越来越多的领域会使用数学理论进行研究，经济、科学、医学、各类工程等。通常在以上领域我们将数学称为应用数学，除此之外，在其他领域里数学也常常被赋予其他名字，如统计数学、数学模型等。有时候，专家学者在其研究过程中也会激发出一些新发现，甚至会引出一个全新学科的发展。与此同时，专家们也不会放松对数学本身的研究即对不以任何实际应用为目标的纯数学的研究。在这些研究过程中，亦会引发出许多新的应用与深思。在实际的土木工程研究和建设中，建立在数学基础上推导出的应用原理结果，使我们能够更好地解决工程中的实际问题，同时这些问题及解决方法又会促进数学的发展和改革。

1 最小二乘法建立函数关系曲线

在土木工程建设的实验中，我们常常需要通过求解函数解析式来探索、揭示相关量之间的内在联系。通常是根據实验得到的数据，来探索出我们需要的反映客观事物变化规律的函数关系的最佳近似表示式。但是在实验过程中，我们得到的一系列数据又有哪些联系？反应了何种问题？该如何应用在实际探索中？为了解决这些问题，我们必须要将数据进行量化，并且要建立起各个参数之间的函数关系曲线。最小二乘法可以简单、快捷、准确的满足实际的曲线拟合的要求。

我们得到实验数据后，首先通过描点法来画图，根据已知曲线关系推导其公式后进行曲线拟合得到一组新的数据，然后进行直线拟合新数据，得到一组最佳近似表达式。通过描点图以及推导出的公式，即可分析所研究的各个参数间的相互关系及影响效果。

2 矩阵

（1）在弹塑性力学中的应用。

弹塑性力学是固体力学发展较早、且在实践中得到广泛应用的一个分支，是研究弹性与塑形物体变性规律的学科，也是土木工程专业必学的一门科目。它的优点也非常突出：推理严谨、计算结果准确，也为研究和解决工程建设中的技术问题提供了坚实的基础和可靠的依据。

弹塑性力学是由一点的應力分量为实数，应力张量为实对称张量，由此可知物体内的任意一点的应力矩阵皆是实对称矩阵。再根据线性代数中相关的知识，如特征根、特征向量及其性质和矩阵的有关定理知识等，来确定应力主轴。换而言之，求一点的主应力问题就转化成求一点的应力矩阵的特征值和特征向量的问题。

推导时，首先假设应力张量的特征值、特征向量、单位矩阵，利用线性代数的理论知识列出关系式，确定其有非零解的充分必要条件，确定对应力张量的三个不变分量求解一元三次方程，所得的三个实根便是应力矩阵的特征值，即所求主应力，相对于每个特征值的特种那个向量则是矩阵的主应力方向。最后确定三个做表面，将每一点的应力状态用应力张量表示出来。

应力张量是描述变形物体内某点应力状态的一种二阶对称张量。若已知土体某处的应力张量，就可以对其受力分析，再结合一些其他的限定条件，可以建立土体在力和边界下的数学模型，从而通过相关软件进行所求量的分析。

（2）分析工程中的风险问题。

矩阵还可以用来分析工程中的风险问题。就以某大型体育馆工程建设项目在实际实施阶段的风险管理为例，来简单阐述一下多维空间风险管理矩阵的应用。我们将此矩阵分为四个维度。首先，在时间方面我们需要考虑项目实施阶段的前两个月；在风险管理方维度上，我们要全方位的考虑到业主、承包商和监理单位三个方面的关系处理；在风险类别维度上，罗列出建筑材料价格上涨风险以及基础施工塌方风险两个因素；最后，在风险影响维度上，风险影响的大小通常可以利用风险影响函数来表示。

（3）微分方程的应用。

首先我们要明白何谓微分方程？通常，凡是表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程。其中，未知函数是一元函数的，叫常微分方程；未知函数是多元函数的叫做偏微分方程。

在弹性力学中，我们推导平面问题中平衡微分方程的过程中，首先从物体上取出一个微小的正平行六面体，计算各个平面的应力状态。虽然没有规定，但是通常我们会将z方向设定为一个单位长度，然后再分别计算x、y方向的尺寸。由于我们所取的六面体实际是极其微小的，所以我们认为它受到均匀分布的应力，并且作用在其对应面的中心。同理，六面体所受的体力，也可以认为是均匀分布，作用在它的体积的中心。然后设置矩轴并列出平衡方程，根据这个可以得出一个相似的微分方程。于是我们可得出应力分量和体力分量之间的关系，即平面问题中的平衡微分方程。

平衡微分方程只能表示区域内任一点的微分体的平衡条件，所以在使用过程中必须保证任一有限大部分和整个区域是满足平衡条件的，否则不可使用此方法。利用弹性力学，土木工程师可以对地震及其对建筑物的作用进行量化，并进一步研究断层动力学，还可以进行地震预测。

3 结语

在人类的文明发展中，数学知识起着至关重要的作用。数学带动着科学技术的进步，并且为人类的生产和生活引发极大的效益，所以，它是一种应用最广泛、最直接、最及时、最富创造力和重要的实用技术。同时，在土木工程专业的研究、探索、实践过程中，数学理论和应用一直常伴左右，换言之，数学理论的掌握和发展是土木工程发展的前提和基础。如土力学力学习中我们会应用到高数和线性代数知识，在挑选试验数据的时候，我们会应用的概率论和数理统计知识。总之，通过学习数学而培养的理性、逻辑思维，是我们能够做土木工程施工和研究的强大后盾。

参考文献：

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