地铁圆弧形隧道等腰楔形环的拼装与设计
——齐次变换方法

张忠桢， 骆汉宾， 余群舟， 盛 达

(华中科技大学工程管理研究所, 湖北 武汉 430074)

地铁圆弧形隧道等腰楔形环的拼装与设计
——齐次变换方法

张忠桢， 骆汉宾， 余群舟， 盛 达

(华中科技大学工程管理研究所, 湖北 武汉 430074)

为提高地铁盾构隧道施工效率和管片拼装精度，提出用等腰楔形环拼装圆弧形盾构隧道的新的理论与算法。主要结论如下： 1)从理论上证明当等腰楔形环依次向相反方向旋转相同角度θ时，隧道轴线在一个平面上，隧道半径R=L/(2sinα/2· cosθ/2)，其中L是环宽，α是楔形角； 2)提出一种采用容许旋转角拼装楔形环的算法，确定整个盾构隧道上每个衬砌管片环的位置和方位； 3)根据楔形环的方位可以确定隧道上的第几环是左转弯环，第几环是右转弯环，使封顶块的位置在隧道上部，从而确定整个盾构线路所需左、右转弯环的数量。

地铁圆弧形隧道； 管片拼装； 等腰楔形环； 容许旋转角； 齐次变换

0 引言

管片选型与拼装是地铁盾构隧道建设的关键。从衬砌管片环的组合方式看主要有3种： 标准环加左、右转弯环； 通用管片环； 左、右转弯环。

国内地铁普遍采用第1种管片环组合方式对圆曲线和缓和曲线盾构隧道进行排版计算[1-7]，计算依据是根据实践经验总结出来的2张表。1)一张表是楔形量、楔形角与管片环外径关系表。例如： 管片环外径为6～8 m时，楔形量为30～90 mm； 管片环外径为10 m以上时，楔形量为40～70 mm。2)另一张表是标准环与楔形环配比表。例如： 隧道半径为300 m时，标准环与楔形环的环数比为1∶1； 半径500 m时为7∶3； 半径 1 000 m 时为17∶3。为了得到半径更大的圆弧形隧道，设计时将楔形环旋转一定角度与标准环对接。楔形环旋转后，朝向隧道轴线中心的楔形量变小，垂直方向的楔形量变大。不同旋转角的环宽不同，需列出第3张表，叫做楔形环管片端点宽度计算表。表中每行4个环宽数值，两两的差值便是朝向隧道轴线中心的楔形量和垂直方向的楔形量。最后归结为一个平面几何公式： 弧长等于半径乘以圆心角，这里的弧长便是要建的隧道长度。

按以上计算方法确定的楔形环的楔形量普遍偏大，因而对标准环、左右转弯环所需数量的估计粗略。

标准环又称作直线环，对于向圆弧隧道内侧偏移的管片环有向外纠偏的作用。但是，如果一个管片环既向圆弧隧道内侧偏移，其朝向又偏离设计隧道平面时，安装标准环可能使其首端面中心离设计隧道平面更远。由于标准环的纠偏作用有限，有些城市(如深圳地铁一期工程第7标段)开始仅采用一种型式的楔形环，称为通用管片环[8]，拼装盾构隧道。由于封顶块仅限于环的一侧，安装时有些楔形环的封顶块会朝下，给施工带来一些困难。国内文献中有许多关于通用楔形环的模拟或虚拟拼装算法[9-12]，这些算法仅仅以相邻2环的拼装计算公式为基础。当环数较多时计算工作量很大，难以找到充分接近设计隧道轴线的拼装方案。

本文将介绍如何利用左右转弯环拼装圆弧形隧道。根据筑龙网的一篇文章《钢筋混凝土衬砌管片的设计与制造》介绍，这种方法欧洲常采用，国内地铁区间未采用。左右转弯环都是等腰楔形环(也叫做双面楔形环)，封顶块在环的腰部，但位置不同，成镜像对称。本文通过在每个管片环上建立一个空间坐标系，利用齐次变换方法精确地计算出成型隧道每一环的位置和方位。根据楔形环的方位可以确定隧道上的第几环是左转弯环，第几环是右转弯环，使封顶块的位置在隧道上部，从而确定盾构线路所需左、右转弯环的数量，为楔形环的采购计划提供理论依据。

本文介绍的计算方法可以提高隧道衬砌管片的通用性，降低管片制造成本，为实现地铁盾构隧道精确拼装提供新的途径。

1 等腰楔形环的几何性质及坐标系的设置

在地铁隧道施工过程中，盾构每推进一段距离，就安装一节管片环。通用楔形环具有统一的几何尺寸，不仅能形成直线隧道，还能形成曲线隧道。本文研究如何采用等腰楔形环拼装圆弧形隧道，使盾构施工满足设计要求。

图1 等腰楔形环的几何形状

例如，武汉市某地铁线路所用楔形环尺寸为： 外径D2=6.2 m，环宽L=1.5 m, 最小环宽L1=1.48 m, 最大环宽L2=1.52 m, 楔形量δ=40 mm。 要求拼装一段半径等于450 m的圆弧形隧道。 可以算出椭圆长轴等于6.200 032 m，楔形角α=0.369 649°。

设G0、G1、G2、…、Gi是依次安装的楔形环，它们的中心轴线首尾相连形成的一条折线称为隧道轴线。要求安装成型的隧道轴线与隧道设计轴线DTA(designed tunnel axis)尽可能一致。在我们的研究中，楔形环的初始排列是最小环宽处与最小环宽处、最大环宽处与最大环宽处正对齐。这时相邻2个楔形环中心轴线的夹角最小, 隧道轴线成为半径最小的“圆弧”。为了得到更大半径的圆弧，需要将相邻2个楔形环向相反的方向旋转同样大小角度，即使得相邻2个楔形环接触面椭圆长轴的夹角相等。其大小用θ表示，称为相邻2个楔形环的夹角。θ=0°时即为楔形环排列的初始位置；θ=180°时，隧道轴线成直线形。以下都约定 0≤θ<180°。

每个楔形环沿盾构推进方向的那一面称为首端面，后面那一面称为末端面。第i个楔形环Gi首端面的中心用oi表示，末端面的中心用oib表示。为了描述不同θ值时每个楔形环两端中心的位置以及楔形环的方位，以每个楔形环的首端面为yz平面建立右手直角坐标系。第i个楔形环Gi上的直角坐标系记为oixiyizi, 其原点是首端面的中心，x轴与首端面垂直，指向盾构前进方向；y轴与椭圆长轴重合，方向由最大环宽处指向最小环宽处；z轴与椭圆短轴重合，方向按右手规则确定。

本文以楔形环G0上的坐标系作为“全局坐标系”，记为oxyz，这意味着G0不旋转，从G1起各楔形环依次绕前面的楔形环向相反方向旋转θ度。为了计算每个楔形环在全局坐标系中的位置和方位，需要用到齐次变换。

2 隧道轴线的位置、中心及半径

2.1隧道轴线的平面性质

本节说明隧道轴线在全局坐标系中的位置、中心及半径。首先证明，当相邻楔形环向相反方向旋转相等角度时，形成的隧道轴线在同一个平面上。楔形环排列的初始位置及G1旋转后的情形如图2所示。

(a) 楔形环排列的初始位置

(b) 楔形环G1首端面中间部分的俯视图

图2(a)显示楔形环G0、G1和G2排列的初始位置，它们的最小环宽处与最小环宽处、最大环宽处与最大环宽处完全对齐，这时产生最大弯曲效果。

在图2(a)中，o1A垂直于x轴,o1B垂直于y轴。利用直角三角形相似关系，可以得到∠o1oA=α/2。记|oA| =a, |oB| =b，由于|oo1| =L,得到

整理后得到

-bsinθx-asinθy+a(1+cosθ)z=0。

将a和b的表达式代入上式并消去L可得

(1)

利用三角函数公式也可将式(1)表示为

(2)

这个平面用Ptunnel表示。

为了得到圆弧形隧道，将Gi+1绕Gi上的xi轴旋转-θ度，将Gi+2绕Gi+1上的xi+1轴旋转θ度，i=1, 3,…，即相邻的楔形环向相反的方向相对旋转θ度。

为了计算楔形环Gi上每一点在全局坐标系oxyz中的坐标，需要用到以下几种形式的基本变换，分别为绕x轴的旋转、平移和绕z轴的旋转：

令

T(θ)=Rot(x;θ)Trans(a,b,0)Rot(z；α)=

(3)

将坐标系oxyz移动到oixiyizi的变换矩阵如下：

下文证明楔形环G2首端面中心o2的3个坐标满足式(1), 即o2也在平面Ptunnel上。

(4)

其前3个分量便是o2在坐标系oxyz中的坐标。 将其代入式(1)的左边得

在以上推导过程中，除了消掉若干项外，还用到公式：

sin2θ+cos2θ=1 。

所以，楔形环G2的首端面中心o2在平面Ptunnel上。

同样，如果将楔形环G1首端面上的坐标系o1x1y1z1作为全局坐标系oxyz，可以证明G3首端面中心o3在由o1b、o和o2确定的平面上，因而在平面Ptunnel上。 其中o1b是G1末端面的中心。 以此类推，可以证明所有楔形环两端的中心都在同一个平面上，故Ptunnel是隧道轴线所在的平面，称为隧道轴线平面或隧道平面。

2.2圆弧形隧道轴线的中心及半径

本节首先求楔形环G1的首端面，G0的首端面和末端面所在平面的交点，然后证明此交点到每个楔形环两端中心的距离相等。

cosαx+sinαcosθy+sinαsinθz=acosα+b·sinαcos2θ+bsinαsin2θ=acosα+bsinα。

将a和b的表达式代入上式化简得

楔形环G0末端面中心o0b的坐标为(-a,b,0)，容易求得G0末端面的平面方程为

将G1的首端面，G0的首端面和末端面的交点记为O，则

(5)

容易验证它满足式(2)，即O在隧道轴线平面上。

下文求o到O的距离。

经化简得

(6)

同理可证明楔形环G2首端面的中心o2到O的距离也等于R(略)。

同样，如果将楔形环G1首端面上的坐标系o1x1y1z1作为全局坐标系oxyz，可以证明G3首端面中心o3到O的距离也等于R。 以此类推，可以证明所有楔形环两端的中心到O的距离都等于R，即所有楔形环两端的中心在一个以O为圆心、半径等于R的圆弧上。 所以O是隧道轴线中心，简称隧道中心；R是隧道轴线半径，简称隧道半径。

在式(6)中令θ=0，可得到

这是楔形环最小环宽处与最小环宽处、最大环宽处与最大环宽处完全对齐时的隧道半径。

为了错缝拼装，楔形环至少要旋转一个角度θmin，可以形成的圆弧隧道半径大于或等于

(7)

2.3隧道平面坐标系统

上文将全局坐标系oxyz建立在楔形环G0首端面，求出了隧道轴线平面方程、中心的位置以及隧道半径； 但是隧道轴线不在oxyz的坐标平面上，中心不在坐标轴上。此节以隧道轴线平面为XY平面，仍以o为原点，建立坐标系oXYZ，以便将坐标系oxyz中表示的隧道轴线以及其他一些参数换算成oXYZ中的坐标，更直观地反映成型隧道中每个楔形环的位置和方位。 可以推导出将坐标系oXYZ移动到oxyz的变换矩阵如下：

(8)

其中

可得

前文已经指出θ是小于180°的正数，故隧道平面的法向量与坐标系oXYZ的Z轴同方向，即隧道轴线在oXYZ坐标系的XY平面上。

2.4用等腰楔形环拼装圆弧形隧道的算例

从上面的分析可以得到以下结论。

2)在楔形环尺寸给定的条件下，由于楔形环的拼装点位有限，实际只能形成有限的几种隧道半径。例如，有的楔形环由6个管片拼接而成，2楔形环对接有16个拼装点位，在圆周上均匀分布，相邻2个安装点位对应的圆心角等于22.5°。由于2环对接时要求管片错缝拼装，所以θ= 0°不允许, 最小旋转角θmin=22.5°。要形成圆弧形隧道，θ只能是22.5°、45°、67.5°、90°、112.5°、135°、157.5°等7种容许值，得到7种隧道半径。如果隧道设计半径对应的旋转角不等于这7种数值，安装楔形环时就必须采用多种容许旋转角，形成的隧道轴线不是严格的圆弧形。

3)由隧道半径的计算式(6)可以看出，安装点位给定时，通过改变楔形环的尺寸可以使隧道半径达到设计要求。

在下文的算例中假设旋转角θ有22.5°、45°、67.5°、90°、112.5°、135°、157.5°等7种容许值。

2.4.1 算例1

某等腰楔形环的外径D2=6.2 m, 宽度L=1.5 m，最小环宽L1=1.48 m，要求用其拼装成半径为450 m的圆弧形隧道。

表1采用7种容许旋转角的圆弧隧道半径(L1=1.48 m)
Table 1 Tunnel radii by using 7 kinds of allowable rotation angles (L1=1.48 m)

θ/(°)R/m22．5237．0645251．6667．5279．6390328．81112．5418．49135607．55157．51191．75

由表1可知： 容许旋转角等于112.5°时的隧道半径为418.49 m，在7个半径数值中最接近设计值450 m。容易想到，前2个楔形环应该依次旋转±112.5°，以后每个楔形环旋转多少度由其首端面中心到隧道设计轴线的距离确定。具体做法下节讨论。

2.4.2 算例2

某等腰楔形环的外径D2=6.2 m, 宽度L=1.5 m，最小环宽L1=1.485 4 m。要求用其拼装成半径为450 m的圆弧形隧道。

表2采用7种容许旋转角的圆弧隧道半径(L1=1.485 4 m)
Table 2 Tunnel radii by using 7 kinds of allowable rotation angles (L1=1.485 4 m)

θ/(°)R/m22．5324．7345344．7367．5383．0590450．42112．5573．27135832．26157．51632．53

由表2可知：L1=1.485 4 m，θ=90°时, 隧道半径等于450.42 m，满足设计要求。

在楔形环的拼装过程中, 楔形环首端面中心不可避免地会偏离隧道设计轴线，产生一定的偏差，需要不断地调整楔形环之间的夹角。当楔形环尺寸固定时，由表1和表2都可以看出，相邻2环的夹角θ增加时形成的隧道半径R增加很快。显然，θ较小时调整拼装误差要容易一些，故设计楔形环尺寸时应考虑采用较小的楔形量，以便使用较小的容许旋转角安装楔形环。

2.4.3 算例3

某等腰楔形环的外径D2=6.2 m, 宽度L=1.5 m。根据不同容许旋转角确定楔形量，使得隧道半径等于450 m。

当楔形环之间的夹角θ变化时，楔形环的楔形角α也要改变才能使得隧道半径等于设计值。在楔形环外径D2和宽度L不变的条件下，通过改变最小环宽L1可以改变楔形角α。利用式(6), 实现设计半径等于450 m的计算结果见表3。

表3 实现设计隧道半径450 m的最小环宽

楔形量δ=2(L-L1)。由表3可知： 只要楔形量适当，采用7种容许旋转角中的任何一种，都可以使隧道半径接近450 m。

2.4.4 算例4

某等腰楔形环的外径D2= 6.2 m, 宽度L=1.5 m，最小环宽L1=1.485 4 m，用其拼装圆弧形隧道。楔形环的旋转角θ=±90°，需要求出以下要素。

1)在坐标系oxyz中, 隧道轴线所在平面方程、隧道中心位置以及隧道半径。

2)在坐标系oxyz中, 前10个楔形环首端面与隧道轴线平面的夹角。

3)前10个楔形环首端面中心在坐标系oxyz和oXYZ中的位置。

具体解法如下。

1)根据式(2), 隧道轴线平面方程为

-0.001 7x-0.707 1y+0.707 1z=0。

此方程经过规范化，其系数平方和等于1。根据式(5)和式(6)，隧道中心O=(0, 318.493 2, 0, 318.492 8), 隧道半径R=450.417 1 m。

2)利用楔形环首端面所在平面方程和隧道平面方程，可以求出楔形环首端面与隧道轴线平面的夹角依次为90.095 3°和89.904 7°。

3)前10个楔形环首端面中心在坐标系oxyz的坐标(x,y,z)，在oXYZ中的坐标(X,Y,Z)见表4。

表4 前10个楔形环首端面中心的坐标

由表4最后一列可见，楔形环两端中心都在平面XY上。

另外，还可以计算出每个楔形环的方位。例如，在坐标系oXYZ中第1个楔形环首端面法向量为(0.999 3, 0.036 6, 0.001 7)。

3 利用不同容许旋转角实现隧道设计半径

3.1圆弧形隧道楔形环的排版计算

在地铁隧道建设中，隧道的转弯半径多种多样，楔形环的尺寸和安装点位可能是固定的，本节介绍在拼装过程中如何根据安装点位将楔形环旋转不同角度得到设计要求的隧道。

假设隧道设计半径为RD，θ0是实现RD的旋转角，即θ0是由式(6)确定的旋转角，满足

(9)

楔形环依次反向旋转θ0得到的隧道轴线称为精确隧道轴线。 根据式(5)，这时的隧道中心为

(10)

根据式(2)，隧道平面方程为

(11)

一般来说，θ0不是容许旋转角，只能采用一些容许旋转角实现设计隧道半径。在楔形环对接点位为16个的条件下，除了前面提到的7种容许旋转角外还可能使用180°。 下文介绍一种算法安装楔形环，计算步骤大致如下：

1)利用式(9)确定的旋转角θ0旋转楔形环，构造一个半径等于RD的精确隧道轴线。

2)采用容许旋转角拼装楔形环，使成型隧道轴线尽可能接近精确隧道轴线。

3)以精确隧道轴线所在平面为XY平面建立坐标系，在其中反映上一步得到的每个楔形环的位置和方位。

为表述方便，下文用Oi表示第i个楔形环首端面中心在精确隧道轴线上的位置，oi表示使用容许旋转角得到的位置，假设共安装n个楔形环。

3.1.1 采用多种容许旋转角实现设计隧道半径

其中‖·‖2表示欧氏范数，arg min表示使‖·‖2取得极小的θ值。 作变换

3.1.2 算例

某等腰楔形环的外径D2=6.2 m,宽度L=1.5 m，最小环宽L1=1.48 m。 要求用其拼装成半径为450 m的圆弧形隧道，共100环。

此处隧道设计半径RD=450 m，利用式(9)可得cos (θ0/2)=0.516 7，θ0=117.781 8°。 根据式(5), 在坐标系oxyz中，θ0对应的隧道中心O=(0, 232.501 4, 385.283 1)m； 根据式(2)，隧道平面方程为

-0.002 8x-0.856 2y+0.516 7z=0。

(12)

此方程已规范化，即其系数的平方和等于1。

按3.1.1方法步骤计算结果见表5。 其前3列数字是采用容许旋转角得到的各楔形环中心在坐标系oxyz中的坐标，即oi的3个分量。 |oiOi|列的数字是oi到Oi的距离(Oi的3个分量未列于表中)。 disP0列的数字是将oi的3个分量代入平面方程式(12)左边得到的数值, 是oi到精确隧道平面的“距离”，负数表示oi在该平面之下，单位都是m。θ列的数字是楔形环的旋转角度。

表5 100个楔形环首端面中心的坐标及有关参数
Table 5 Coordinates of front centers of 100 wedged rings and relevant parameters

楔形环x/my/mz/m|oiOi|/mdisP0/mθ/(°)11．5000-0．00190．00450．0004-0．0002112．523．0000-0．00070．01340．0013-0．0007-112．534．49990．00180．02580．0009-0．000713545．99980．00540．04340．00120．0012-112．557．49960．01690．06630．0032-0．000922．568．99930．02740．09080．0023-0．0014157．5710．49910．03680．11680．0035-0．0001-157．5811．99860．05140．15080．00440．000722．5913．49790．07140．19260．00130．0011-22．51014．99720．09290．23340．0022-0．0004-157．51116．49650．11440．27410．0088-0．00191801217．99550．13780．32420．0112-0．000122．51319．49410．16450．38260．01030．0029-451420．99240．19920．44620．00540．0020-22．51522．49030．23650．51610．00260．0021901623．98820．27380．58600．00390．00211801725．48600．31290．65630．00150．0008157．51826．98350．35690．73140．0023-0．0022-901928．48070．40220．80990．0047-0．00461352029．97760．44610．89630．0024-0．0016-67．53044．92501．05261．98400．0056-0．0002904059．82221．91983．50120．00450．0000-455074．65233．04555．44460．0010-0．0006906089．40044．42347．80510．0026-0．001522．570104．04876．055010．58710．0023-0．00169080118．58297．936613．78000．0072-0．0030-22．590132．982210．070017．39730．0012-0．0003-157．5100147．236312．448321．41500．0025-0．000245

由表5中|oiOi|和disP0列数字可知，根据3.1.1方法形成的隧道轴线很接近精确隧道轴线，基本上在隧道平面上。由表5中θ列可知，旋转角变化很大，最小和最大容许旋转角都列在其中。

表6 100个楔形环首端面中心在坐标系oXYZ中的坐标及隧道半径
Table 6 Coordinates of front centers of 100 wedged rings inoXYZand tunnel radii m

楔形环XYZR11．50000．0029-0．0002449．999623．00000．0111-0．0007449．998934．49990．0230-0．0007449．999545．99980．04000．0012450．000057．49960．0655-0．0009449．997068．99940．0919-0．0014449．9981710．49910．1190-0．0001450．0035811．99870．15570．0007450．0043913．49800．20180．0011450．00071014．99730．2478-0．0004450．00221116．49660．2938-0．0019450．00861217．99560．3488-0．0001450．01121319．49420．41260．0029450．00991420．99240．48490．0020450．00501522．49040．56400．0021449．99831623．98830．64320．0021449．99671725．48610．72350．0008449．99881826．98360．8106-0．0022449．99921928．48080．9013-0．0046450．00092029．97770．9979-0．0016450．00173044．92522．2425-0．0002450．00564059．82243．98960．0000450．00455074．65266．2351-0．0006450．00036089．40078．9680-0．0015450．001970104．049112．1930-0．0016450．001380118．583315．8989-0．0030450．006590132．982720．0982-0．0003450．0000100147．236824．7669-0．0002450．0021

由表6的Z列和R列可知，每个楔形环两端面中心离XY平面很近，到(0, 450)的平面距离都接近450 m。第28个楔形环首端面中心到XY平面的距离最远，为0.009 206 m(表6的Z列未列出)。

由上分析，还可以给出每个楔形环的方位。例如，在坐标系oXYZ中，第1个楔形环首端面的法向量为(0.999 990, 0.003 828, 0.002 432)。

3.2楔形环的实际应用方法

按图2(a)每个楔形环上坐标系的设置，第i个楔形环的封顶块在oixiyizi坐标系的zi轴方向时，为左转弯环；在-zi轴方向时，为右转弯环。

如果隧道平面在水平面上(或有一定坡度)，oXYZ坐标系的Z轴方向朝上，图2(a)所示为左转弯隧道。计算结果表明，3.1.2算例的100环中有81环的zi轴与Z轴的夹角小于90°，19环的zi轴与Z轴的夹角大于90°。为了使每环的封顶块朝上，这81环应采用左转弯环，19环采用右转弯环。如果是同样半径的右转弯隧道，那么81环为右转弯环，19环为左转弯环。

还可以将楔形环的横截面分成若干扇区，如顶部、左上、右上、左侧、右侧等，计算出每个封顶块所在的扇区。或者在排版计算时避免两侧的扇区，使封顶块尽可能集中在隧道顶部、左上、右上等位置，以便施工拼装。

对于隧道轴线平面垂直于水平面的隧道，如大直径过江隧道，应考虑进行专门设计，将封顶块放在楔形环最小环宽处[6]，可以做到楔形环的封顶块都在隧道上部，安装十分方便。

值得注意的是，本文虽然仅介绍了如何用等腰楔形环拼装圆弧形隧道，但也可以用于其他形式的管片环，如标准环、左右转弯环、单面楔形环的混合排版；还可以用于回旋线等缓和曲线隧道的排版。

对于我国广泛采用的标准环加左右转弯环的隧道拼装模式，可以通过调整变换矩阵T(θ)中的参数进行计算，而且这种计算可以在隧道施工过程中随时进行。由于周围环境、地质和盾构精度等条件的限制，成型隧道不可避免地会偏离设计隧道轴线； 但是只要测定出刚刚安装好的一环首端面的位置和方位，就可以利用齐次变换方法预估余下隧道的走向和终点的位置，以及各种管片环需要的数量，做到心中有数。在施工过程中成型隧道轴线出现较大偏差时，通过调整变换矩阵中的参数和设置一些限制条件，计算出不同拼装方案，从中选择一个较好的方案实施。如果需要优先采用某些安装点位或者禁止某些安装点位，也可以通过计算进行分析。

本文关于隧道轴线半径的计算式(6)给出的实际上是相邻2环结合处的曲率半径。回旋线上每点的曲率各不相同，根据回旋线上一些点的曲率半径按照该式计算2环的相对旋转角，可以使隧道转弯半径由一个数值逐渐变化到另一个数值，使回旋线形隧道轴线与两端的曲线(直线)线路尽可能相切。

4 结论与讨论

本文重点介绍如何利用等腰楔形环拼装圆弧形隧道，主要结论如下。

2)提出一种用等腰楔形环拼装圆弧形盾构隧道的算法。可以计算出整个盾构隧道上每个管片环的位置和方位以及所需左、右转弯环数量，对于提高盾构隧道施工效率和拼装精度有重要实用价值。

3)建议用左右转弯环拼装地铁盾构隧道。与目前广泛采用的标准环加左右转弯环拼装模式相比，可以减少管片制造钢模数量，提高衬砌管片的通用性，降低地铁建设成本。

4)增加盾构隧道管片环宽度可以提高经济效益[13]； 但是环宽增加后，其拟合曲线隧道的精度会降低并且导致管片环弯曲应力增加。本文介绍的方法可以计算出整个隧道管片排列的状况，有助于对隧道的关键部位和全局进行分析，以确定适当的环宽数值。

为了提高盾构隧道的施工效率和成型质量，管片环的分块设计及管片制造钢模的加工精度十分重要。封顶块是每一管片环最后拼装的一块，是尺寸设计的关键。为了便于安装，其两端宽度不同，成楔形。通常先在三分之二长度的位置径向嵌入2个相邻块，再纵向推入剩余部分。目前我国广泛使用CAD或Solidworks等软件用作图方式设计管片形状，需要反复试探地确定封顶块尺寸，工作量较大且精度有限。虽然有学者介绍解析计算方法[14]，但很复杂。今后我们将介绍一套简便的解析计算公式，可按任何分块方式精确地计算出每个管片4周的平面方程及8个角点的空间坐标，供数控机床加工钢模型腔使用。

[1] 杨群，谢立广．关于盾构隧道楔形管片环的思考[J]．现代隧道技术，2010(3)： 56.

YANG Qun，XIE Liguang．Comments on tapered segment rings of shield tunnels[J].Modern Tunnelling Technology, 2010(3): 56.

[2] 储柯钧. 地铁盾构管片在平、竖曲线上的排版探讨[J].隧道建设，2007, 27(4): 20.

CHU Kejun. Array of segment rings for shield-driven metro tunnel[J]. Tunnel Construction, 2007, 27(4): 20.

[3] 林建平．海瑞克盾构施工管片选型和安装[J]．隧道建设，2009，29(增刊1): 19.

LING Jianping. Model selection and erection of pipe segment for Herrenk shield construction [J]．Tunnel Construction, 2009, 29(S1): 19.

[4] 常富贵，胡得华. 盾构法隧道管片选型及拼装技术[J].科技创新与应用，2015(7): 41.

CHANG Fugui, HU Dehua. Selection and arrangement of lining segments of shield tunnel[J]. Technology Innovation and Applications, 2015(7): 41.

[5] 王瑞峰. 沈阳地铁盾构隧道设计浅谈[J].北方交通，2011(1): 53.

WANG Ruifeng. Brief discussion on shield tunnel design of Shenyang subway[J]. Northern Communications, 2011(1): 53.

[6] 戴仕敏，李章林，何国军．大型通用楔形管片拼装施工技术[J]．隧道建设，2006,26(4)： 64．

DAI Shimin，LI Zhanglin，HE Guojun．Erection construction technology of large scale universal wedge-shaped segments[J]．Tunnel Construction, 2006, 26(4): 64.

[7] 侯刚．盾构隧道弯环管片在缓和曲线上的排版研究[J]．隧道建设，2007,27(6)： 24.

HOU Gang．Study of segment arrangement on transition curves of shield-bored tunnel[J]. Tunnel Construction， 2007, 27(6): 24.

[8] 赵国旭，何川．盾构隧道通用管片设计及应用[J]．铁道建筑技术，2003(2)： 5.

ZHAO Guoxu，HE Chuan．Design and application of universal segment for shield-driven tunnels[J].Railway Construction Technology, 2003(2): 5.

[9] 李伟平，郑国平．盾构隧道通用楔形管片排版系统的核心算法研究[J]．现代隧道技术， 2008(5): 24.

LI Weiping，ZHENG Guoping．Study of core algorithm of typesetting system for universal wedge segments of shield tunnels[J]．Modern Tunnelling Technology，2008(5): 24.

[10] 赵志杰，金先龙，曹源，等．盾构隧道通用管片虚拟拼装系统[J]．计算机辅助设计与图形学报， 2007(9): 1196.

ZHAO Zhijie，JIN Xianlong，CAO Yuan，et al．A virtual erection system of universal rings for shield tunnels[J]．Journal of Computer-Aided Design & Computer Graphics, 2007(9): 1196.

[11] 胡珉，韩占伟，孙向阳，等. 隧道通用楔形管片封顶块位置优选研究[J].现代隧道技术，2009(5): 13.

HU Min, HAN Zhanwei, SUN Xiangyang, et al. Key position in universal trapezoidal tapered rings of shield tunnels[J]. Modern Tunnelling Technology, 2009(5): 13.

[12] 张志华．盾构管片优化排版方法研究[D]．武汉： 华中科技大学，2012.

ZHANG Zhihua．Research on optimized composition of segments for shield tunnels[D].Wuhan：Huazhong University of Science and Technology, 2012.

[13] TAYAGAKI Y, YAMAGISHI A, WATANUKI M, 等.增加盾构隧道管片宽度，提高经济效益[J].地下空间，2003,23(1): 100.

TAYAGAKI Y, YAMAGISHI A, WATANUKI M, et al. Economical efficiency by means of increasing segment width of shield tunnel[J].Underground Space, 2003,23(1): 100.

[14] 杨群，谢立广．关于盾构隧道管片尺寸的解析[J]．现代隧道技术，2014, 51(4)： 155.

YANG Qun, XIE Liguang. Analytical formula for segment dimensions of a shield tunnel[J]. Modern Tunnelling Technology, 2014, 51(4)： 155.

DesignandAssemblyofIsoscelesWedgedRingsforCircularMetroShieldTunnel:AHomogeneousTransformationMethod

ZHANG Zhongzhen, LUO Hanbin, YU Qunzhou, SHENG Da

(InstituteofEngineeringManagement,HuazhongUniversityofScienceandTechnology,Wuhan430074,Hubei,China)

A new theory and algorithm for assembling a circular metro shield tunnel segment by using isosceles wedged rings are proposed to improve the tunnel construction efficiency and segment assembling precision. Main conclusions are drawn as follows: 1) It is theoretically proved that the tunnel axis is on a plane when rings are alternately rotated about the same angleθand the tunnel radiusR=L/(2 sinα/2 cosθ/2) whereLis the ring′s width andαis wedged angle. 2) An algorithm, using allowable rotation angle method, is given to compute the position and orientation of every lining ring in the whole circular shield tunnel. 3) Every isosceles wedged ring can be identified as a left bend ring or a right bend one according to its orientation where the K-segment is on the top of the tunnel, which means that the amounts of left and right bend rings can be respectively foreknown before constructing a shield tunnel.

circular metro tunnel; segment assembly; isosceles wedged rings; allowable rotation angle; homogeneous transformation

2017-03-01;

2017-06-12

张忠桢(1946—)，男，湖北武汉人，1980年毕业于华中科技大学，系统工程专业，硕士，教授，主要从事于数学建模与计算研究工作。 E-mail: zhangzz321@126.com。

10.3973/j.issn.1672-741X.2017.10.003

U 45

A

1672-741X(2017)10-1217-10