不同参考系下斜抛运动的最大射程

许云飞

摘 要：探讨了运动小车上斜抛运动在不同参考系下的最大射程。结论是在小车坐标系下与大地坐标系下的最大射程是不同的。小车坐标系下抛角为45°时射程最大；在车上抛角大于45°时，大地坐标下的射程才有可能最大，小车速度越大，需要在车上的抛角就越大。这些讨论可以进一步促使学生注意物理结论的隐含条件，加强对运动的相对性的理解。

关键词：斜抛运动 参考系 最大射程 抛射角度

中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2017）09（b）-0202-02

运动学是运用几何学的方法来研究物体的运动，其结论与参考系密切相关。但是涉及参考系的极值问题时，很多学生却容易忘记参考系的影响，想当然的对已有结论进行扩展而出错。例如斜抛运动，高中教材中提到在抛角为45°时射程最远[1]（不考虑空气阻力），很多学生却未注意这个最远仅是相对于大地这个静止的坐标系，想当然的以为跨坐标系描述时会仍然成立而出错。本文以具有水平初速度的斜抛运动为例来说明，用以加强学生对运动的相对性的理解。

1 模型

在速度为u（u>0）水平向右的车上，抛体以相对于车的速率，与车厢底部成θ角度被抛出，问θ角多大时在地面观测有最大射程（不考虑车的高度和空气的阻力）。

建立直角坐标系，可把问题抽象成如图1所示，抛体本身具有向右的水平速度u，再以速率被抛出，落地点D。

2 模型讨论

以车为坐标系，众所周知，以45°角被抛出时，射程最远[1]。

以大地为参考系，很多同学想当然的认为应该是在车上以45°角被抛出，因为此时从车上看，射程最远，再加上此段时间内车行进的距离就是最远距离了。但是通过下面的推导，可以看到结论完全不是这样。在地面上观察，则

（1）

由可求得下落时间

（2）

因此

（3）

为求x最大值，令，得

（4）

令，由于k>0，cosθ>0，（4）式的解为

（5）

（5）式表明，随着k的增加，cosθ减小，θ与k，即与和u的比值有关。分别取k=0，k→∞和k=1三种情况下讨论。

（1）当k=0时，表明u=0，车静止，则，即，与文献1的结论一致。

（2）当k→∞时，表明u→∞，即，则cosθ→0，即。可这样理解这个结论：由于水平速度u很大，在x方向的分量可以忽略，其最大射程主要有竖直方向的下落时间决定，而接近90°上抛时下落时间最长，则此时的射程最远。

（3）当k=1时，表明，则，即，最大射射程为。而如果以45°被抛出的话，最大射程为，小于。

可见u>0时，从车上看来，抛角均应大于45°，其中在之间时，最佳抛角在之间，当时，最佳抛角在之间，小车速度越大，需要的抛角越大。

在跳远运动中，起跳角度45°时跳的最远（不考虑运动员身高，空气阻力），这是从大地坐标系观察，而运动员起跳时是根据自身感觉判断起跳角度的，根据前面的讨论，应该是大于45°起跳，文献中给出的起跳离板角约为75°[2]。由于垂直起跳速度小于水平助跑速度较多，因此我国运动员提高跳远成绩的主要方法是提高腾起垂直速度即腾起角度[3]。

3 结语

通过对斜抛运动问题的深入探讨，一方面能使学生对斜抛运动有更好的理解，另外在描述运动问题时，会更加注意参考系的作用，更好的掌握速度的分解与合成这个知识点，深刻体会运动的相对性这一物理思想；另一方面使学生明白物理结论都有其苛刻的适用条件或隐含条件，当条件变化时，必须要进行详细的理论推导或实验验证，不能想当然的对结论进行推广。

参考文献

[1] 普通高中课程标准实验教科书物理[M].北京：人民教育出版社，2010.

[2] 卓建南，何秋華.中外优秀跳远运动员助跑速度比较与分析[J].广州体育学院学报，2004，24（2）：77-78.

[3] 邓泽祥.中国跳远运动员的“高助跑速度利用率”引起的思考[J].广州体育学院学报，2002，22（2）：52-54.endprint