读懂学生的“明白”，让学习自然生长

章颖

“倍的认识”是学生学习相对数量比较的起点。前段时间，在俞正强特级教师工作室团队活动中，我们对“倍的认识”进行了研究与探讨。师父的精彩演绎让我们叹为观止，师父的通理明法让我们豁然开朗。当我们读懂学生的明白，学生学习就自然发生，课也自然生动。

一、理解：倍是一种关系

“倍”代表着两个数量间的比较关系，它产生的前提和基础是两者比较，而关键是要把其中一方以另一方为标准，分成相同的几份。对于中高年级即将接触到的“分数”“百分数”“比”甚至以后的函数等内容的学习，它起着至关重要的作用。要建立“倍”概念，其关键和难点是让学生体会“关系”“标准”。用怎么样的素材，按怎么的序列，让学生体会“关系”“标准”，建立“倍”概念？我们先来看看特级教师俞正强的演绎。

A版本

流程一：经验的激活

1.教学“一样多”

（1）谈话

板书：一样多

师：把這3个字读一读：一样多。

师：什么时候会用到“一样多”？

学生自由发言。

师小结：“一样多”肯定是谁和谁在比多少。

板书：△和○一样多

⑵拍手游戏

师：请你跟我一样多，我就跟你一样多。

师拍3下，学生也拍了3下。

师：为什么刚才拍了3下？

生：老师拍了3下，所以我拍了3下。

生：因为要和老师一样多。

生：要以老师为准。

师小结：“一样多”，以老师的3下为标准。

⑶画一画

师：我画△，你们画○跟我“一样多”。

①△——○

师：为什么画1个？

生：老师画了1个。

②△△△△——○○○○

师：画了几个？为什么？

这个环节，俞老师从“一样多”素材引入，通过“拍手游戏”“画图”激活、改造学生“一样多”的经验。这里有两个体验点，其一是“一样多”怎么来？在“你和我”的比较中让学生体会关系；其二是“以我为准”，体会标准。将生活中的“以我为准”改造为数学上的“以谁为标准”。

2.教学“两个一样多”

板书：两个一样多

⑴拍手游戏

师：读，懂吗？

师拍3下。

生1连着拍6下。

生2先拍3下，再拍3下。

师：他们拍得有不一样吗？

生1：一个连续拍6下，一个拍3下停一停又拍3下。

师：你为什么拍3下停下后又拍3下？

生2：两个一样多，先拍3下，再重复一次。

师：哪位同学拍得好？为什么？

师小结：两个“一样多”，先确立“一样多”，再重复一次。

全班拍手游戏体验：两个一样多。

⑵画一画：两个一样多

△△→△△ △△

师：为什么要分开？

3.体验“三个一样多”（同上）

学生在体验“两个一样多”时，通过对比两种不同的拍手方法，感受拍“两个一样多”的窍门，首先，要以“一个一样多”为标准，你几下，我就几下；其次，体会重复。两个一样多，重复两次；三个一样多，重复三次。有了拍手游戏对“标准”的体验，画图时学生自然而然能明白将每个一样多分开或画圈的“理”。“ 三个一样多”的体验也就水到渠成，一气呵成。

流程二：概念的建立

活动：换个说法

师：我说谁和谁一样多，你说谁是谁的1倍。（师说生改）

板书： △和○一样多

△是○的1倍

师：…… 两个一样多。

生：……的2倍。

问题1：你能依次说吗？

问题2：你能用这句话，举个生活中的例子吗？谁是谁的几倍？

“倍”概念不是横空出世的，它根植于生活经验“一样多”。“一个一样多”改造为“1倍”，“两个一样多” 改造为“2倍”，“三个一样多” 改造为“3倍”，依次类推。“倍”不需要教，只是换个名字，学生自然而然就体会“标准”“关系”，建立了“倍”概念。

流程三：练习

1.填空

△：△△△

○：○○○○○○○○○

问题：○的个数是△个数的 倍。

2.画○

△：△△

○：

要求：○的个数是△个数的4倍。

3.画△

△：

○：○○○○○○○○

要求：○的个数是△个数的2倍。

练习在精，不在多。三道练习题，针对三种不同的类型。第一道是求倍数，第二道是求几倍数，第三道是求1倍数。当我们不明白时，通常用增加作业量来强化。当我们想明白时，作业量是可以减少下来的。

二、讨论：倍是一种运算

一直以来，教师教学“倍的认识”都很重视运用丰富的情境、直观的图式和多种表征帮助学生理解概念，可谓是使出浑身解数。可学生在运用“倍”概念时仍然会出现许多困难和问题。特别是，当上课后，小朋友看到“倍”就想到乘法。在学生心里，“倍”就是一种运算。我们传统教学是怎么上的？基本流程如下。

B版本

1.以旧引新

师（出示蝴蝶2只、蜻蜓2只）：它们的只数有怎样的关系？

生：相等。

师（再出示2只蜻蜓）：现在呢？

生：蜻蜓比蝴蝶多2只。

生：蝴蝶比蜻蜓少2只。

生：蜻蜓是蝴蝶的2倍。endprint

师：“倍”这样的说法以前听说过吗？（许多学生表示听说过）那今天我们就来研究“倍”。（揭示课题并板书）

传统教学，“倍”的教学从学生的已有认知出发，不管是设置动物的情境还是花朵的情境，都从说说两者关系的问题入手。从两个数量比较多少开始，进而引出两个数量的“2倍”关系。

2.实践操作

师：说“2倍”的这位同学是怎样想的呢？请他上台把它们分一分、摆一摆，让其他同学一眼就看出它们之间是2倍的关系。（学生上台操作）

师：蜻蜓是蝴蝶的2倍，你们都能看出来了吗？怎么看出来的？同桌交流一下想法。

生4：蝴蝶是2只，蜻蜓有这样2个2只，就是蝴蝶的2 倍。

师：说得真好！像这样，以蝴蝶2只为标准，2只看作1份，蜻蜓有这样的2份，我们就说蜻蜓的只数是蝴蝶的2 倍。

教学时，对“倍”的意义的理解，我们主要通过分一分、摆一摆等操作，让学生对乘法意义中的“几个几”与新知“几倍”形成关联；在给出例子后，说出类似这样的一句话：“我们就说蜻蜓的只數是蝴蝶的2倍。”直接给出了“倍”的概念。因而，小朋友看到“倍”就想到乘法。

3.变式比较

⑴师（继续出示6只蜜蜂）：现在蜜蜂和蝴蝶有什么关系？你是怎么想的？（学生先独立思考，然后指名上台分一分、圈一圈、说一说）

比较：为什么蝴蝶都是2只，而蜻蜓是蝴蝶的2倍，蜜蜂却是蝴蝶的3倍呢？

学生在交流中逐渐明确：把2只蝴蝶看作1份，别的有几个2只，就是蝴蝶的几倍。

⑵师（飞走2只蜻蜓，剩下2只蜻蜓）：现在蜻蜓和蝴蝶有什么关系？你又是怎么想的？（一般学生会有两种解答：1倍和0倍）

通过全班讨论：1倍和0倍，让学生明白把2只蝴蝶看作1份，蜻蜓2只也是1份，所以说蜻蜓是蝴蝶的1倍。

在变式练习中，通过比较、画图等形式，让学生明白“怎么确定标准”，强化“几个几”就是“几倍”。对于“1倍”和“0倍”之争，教师往往回头看“2倍”的建立，迁移得出当两个物体数量同样多就是“1倍”。

三、比较：差别在哪里

我们来比较两种教学流程所呈现的教学意义上的差别。

差别一：对概念内涵的理解不同

这两种主张，对于知识而言，学生最终要建立“倍“概念，并运用它解决简单的实际问题。但对知识的获得过程，两种主张的差别是巨大的。本文主张（即A版本），要使学生深刻地认识到“倍”是一种关系，其概念原型是生活经验中的“一样多”，将学生的“一样多”改造为数学的“倍”。传统教学主张的特征是，“倍”是一种运算，其知识基础是乘法意义的“几个几”，使学生对乘法意义中的“几个几”与“几倍”形成关联。

差别二：对概念学习起点的认知不同

我们将两种教学流程的导入环节理一理，对比如下。

[环节 A版本 B版本 导入 教学“一样多”

⑴师板书：一样多

问题：什么时候会用到“一样多”？

结论：“一样多”肯定是谁和谁在比多少

板书：△和○一样多

⑵拍手游戏

要求：请你跟我一样多，我就跟你一样多

师拍3下，学生也拍了3下

结论：“一样多”，以老师的3下为标准 以旧引新

⑴材料：蝴蝶2只、蜻蜓2只

问题1：它们的只数有怎样的关系？

结论：相等

⑶材料：蝴蝶2只、蜻蜓4只

问题2：现在它们的只数有怎样的关系？

结论1：蜻蜓比蝴蝶多2 只

结论2：蜻蜓是蝴蝶的2 倍

揭示课题并板书 ]

A版本从学生的生活经验“一样多”引入，B版本从 “蝴蝶和蜻蜓比多少”引入。两个版本的导入环节不同是基于对概念学习起点的认知不同。一种认为“倍”概念学习起点是学生的生活经验“一样多”。另一种认为“倍”概念学习起点是学生的已有知识“比多少”。

笔者认为，“倍”概念的学习起点是生活经验“一样多”。第一，生活中，学生积累了大量的“一样多”经验。“你和我的本子一样多”“你有两个苹果，我有两个苹果，我们一样多”……丰富的生活经验利于将“一样多”改造为“倍”。第二，“一样多”经验利于学生体会“关系”与“标准”。在“你和我”的拍手游戏中体会关系；在“以我为准”中，体会标准。将生活中的“以我为准”改造为数学上的“以谁为标准”。 将“一样多”改造为“倍”，只是换个名字，不需要教，学生自然而然就体会“标准”“关系”。这样的数学，在学生眼里，是亲切的。这样的学习，在学生心里，是愉悦的。

而B版本，从 “两个物体比多少”引入，当我们说“蜻蜓比蝴蝶多2 只”，也可以用“蜻蜓是蝴蝶的2 倍”来表示两者的关系，导致学生将“倍”和“多”相联系。变式练习时，当蝴蝶和蜻蜓数量相等，有部分学生认为没有多，就是“0倍”，因而不可避免地产生“1倍和0倍之争”。回想传统教学，我们经常用画图、操作、比较、说练等多种形式让学生明白“谁是标准”“谁是谁的几倍”，学生常常表达不清，或标准说错了。这正说明B版本的问题所在。

四、结论：想明白，上好课

俞正强老师在《小学数学概念教学的两种基本样式》一文中，对概念的意义构建进行了分类。类型一：概念本身能够在生活中找到原型。学生在生活中因为对原型的经历，已经具备对该概念所包含的内涵和外延的理解。我们将学生的经验水平改造为老师的学科水平。

[明白][学生 ] [明白][老师][经验水平][学科水平][改造型][学习]

类型二：概念本身在生活中找不到原型。学生在生活中没有关于该概念的任何经历。我们把这种概念的意义构建表述为：

[空白][学生 ] [明白][老师][输入型][学习]

按照这两种分类考察我们对“倍的认识”的定义，应该属于第一种。知识是有类型的，我们教师首先要想明白概念是哪种类型即“它是什么”，其次想明白概念本身在生活中是否有原型，即“学生是明白的还是空白的”。当我们把这两个核心问题想明白，其余的选材和立序问题也会迎刃而解。

教师想明白，才是上好课的前提！

（浙江省金华市汤溪镇中心小学 321000）endprint