一道高考题引发的思考

■山东省德州市第一中学高三(5)班 杨景瑞

一道高考题引发的思考

■山东省德州市第一中学高三(5)班 杨景瑞

导数问题在高考中常考常新,而如何构造函数解决导数问题是我们学习的难点,下面以一道高考题为例寻找解决这类问题的方法。

高考题 (2 0 1 5年新课标Ⅱ卷)设函数f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当x＞0时,x f'(x)-f(x)＜0,则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是( )。

A.(-∞,-1)∪(0,1)

B.(-1,0)∪(1,+∞)

C.(-∞,-1)∪(-1,0)

D.(0,1)∪(1,+∞)

通过总结,我发现利用导数的运算法则构造函数问题可归结为三种类型。

一、f'(x)g(x)±f(x)g'(x)型

例1 设函数f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时,f'(x)·g(x)+f(x)g'(x)＞0,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)＜0的解集为____。

解析:当x＜0时,f'(x)g(x)+f(x)·g'(x)＞0,即[f(x)g(x)]'＞0,所以函数h(x)=f(x)g(x)在(-∞,0)上单调递增。又h(x)为奇函数,且h(-3)=0,h(3)=0,h(0)=0,可以画一个符合题意的函数h(x)的图像,由图像得到不等式f(x)g(x)＜0的解集为(-∞,-3)∪(0,3)。

二、x f'(x)±n f(x)型

例2 设函数f(x)在R上的导函数为f'(x),且x f'(x)+2f(x)＞x2,下面的不等式在R内恒成立的是( )。

A.f(x)＞0 B.f(x)＜0

C.f(x)＞x D.f(x)＜x

解析:构造函数g(x)=x2f(x),则其导数为g'(x)=2x f(x)+x2f'(x)。

(1)当x＞0时,由x f'(x)+2f(x)＞x2,得g'(x)=2x f(x)+x2f'(x)＞x3＞0,即g(x)在区间(0,+∞)上递增,故g(x)=x2f(x)＞g(0)=0⇒f(x)＞0。

(2)当x＜0时,由x f'(x)+2f(x)＞x2,得g'(x)=2x f(x)+x2f'(x)＜x3＜0,即g(x)在区间(-∞,0)上递减,故g(x)=x2f(x)＞g(0)=0⇒f(x)＞0。

(3)当x=0时,由x f'(x)+2f(x)＞x2,得f(0)＞0。

综上,对任意x∈R,都有f(x)＞0。

三、λ f(x)±f'(x)(λ＞0)型

例3 已知定义在R上的函数f(x),满足3f(x)＞f'(x)恒成立,且f(1)=e3,则下列结论正确的是( )。

A.f(0)=1 B.f(0)＜1

C.f(2)＜e6D.f(2)＞e6

小结:根据导数的运算法则构造函数问题,第一步,观察两式中间的符号,若是“+”,则构造积的形式,若是“-”,则构造商的形式;第二步,通过对比思考所出题目是哪一种类型,进行构造;第三步,根据构造的新函数的性质,解决问题。只要能熟练掌握以上解题思想并不断练习相关解题技艺,相信我们再遇到这类问题时一定能顺利解决。

(责任编辑 刘钟华)