线性方程组的解法概括

沈进，喻卫

摘要：线性方程组解的存在性和唯一性可以由系数行列式和系数矩阵的秩来判断。针对不同情况的线性方程组，它的解法不是唯一的。常使用的方法有克莱姆法则、逆矩阵法、消元法，选用恰当的方法会简化解方程组的过程。

关键词：线性代数；线性方程组；系数矩阵；消元法

中图分类号：O151.2 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）44-0180-03

一、引言

线性方程组是线性代数的核心内容。[1]我们将线性方程组分成齐次和非齐次两大类，具体线性方程组解的存在性和唯一性是不同的，可以通过系数行列式的值与系数矩阵的秩来预判。非齐次线性方程组的解分为三种情况：有解且解唯一、有无穷多组解、无解；齐次线性方程组的解分为两种情况：只有一组零解、有无穷多组非零解。那么在解方程组过程中如何选择正确高效的解法就显得十分重要，恰当的解法会大大提高解题效率。[2]本文总结了解线性方程组常用的三种方法，并举例展示每种方法在具体线性方程组中的计算过程。

二、相关理论

（一）元线性方程组的三种表达形式

线性方程组有三种表达形式，分别是一般形式、矩阵形式和向量形式[3]。

1.一般形式。

a■x■+a■x■+…+a■x■=b■a■x■+a■x■+…+a■x■=b■……a■x■+a■x■+…+a■x■=b■，其中b■，b■，…b■不全為零时称为非齐次线性方程组，b■，b■，…b■全为零时称为齐次线性方程组。

2.矩阵形式。

Ax=b，其中A=■，x=（x■ x■ … x■）■，b=（b■ b■ … b■）■

3.向量形式。

α■x■+α■x■+…α■■x■=b，其中α■=（α■ α■ … α■）■，j=（1，2，…，n），b=（b■ b■ … b■）■。

（二）n元线性方程组解的判定

每个线性方程组的解的情况都是不同的，需要讨论解的存在性和唯一性。那么在解具体线性方程组之前应该先预判一下该方程组的解是何种情况，针对它的解挑选合适的方法。一般可以用系数行列式的值或系数矩阵的秩来判断线性方程组解的情况。

1.系数行列式。如果Ax=b的系数行列式A≠0，则方程组有唯一解；如果Ax=b无解或解不唯一，则它的系数行列式A=0；如果Ax=O的系数行列式A≠0，则方程组只有零解；如果Ax=O有非零解，充要条件是它的系数行列式A=0。

2.系数矩阵与增广矩阵的秩。

Ax=b有唯一解？圳r（A）？摇=r■？摇=n有无穷多解？圳r（A）？摇=r■？摇

三、n元线性方程组的解法

n元线性方程组的常用的解法有克莱姆法则、逆矩阵法和消元法。其中消元法可解决任意的线性方程组，但只有当n元线性方程组的系数矩阵是阶方阵时才能使用克莱姆法则和逆矩阵法。[4]下面就分别阐述三种解法的具体操作过程。

（一）克莱姆法则

若n元线性方程组的系数矩阵是个方阵（m=n），且A≠0，则线性方程组有唯一解x■=■（j=1，2，…，n），其中A■（j=1，2，…，n）是把A中第j列元素a■，a■，…，a■对应地换成常数项b■，b■，…b■，而其余各列保持不变所得到的行列式。

（二）逆矩阵法

把线性方程组写成矩阵形式，看成矩阵方程，利用逆矩阵来解矩阵方程，得到线性方程组的解向量。若Ax=b，x=A■b。

（三）消元法

初高中时代的消元法就是对方程组反复实施以下三种变换。

1.交换某两个方程的位置。

2.用一个非零数乘某一个方程的两边。

3.将一个方程的倍数加到另一个方程上去。

以上三种变换称为线性方程组的初等变换。而消元的目的就是利用方程组的初等变换将原方程组化为阶梯型方程组。显然这个阶梯型方程组与原线性方程组同解。解这个阶梯型方程组的解得原方程组的解。如果用矩阵表示其系数及常数项，则将原方程组化为行阶梯型方程组的过程就是将对应矩阵化为行阶梯型矩阵的过程。[5]特别的，我们还可以将一个一般的行阶梯型方程组化为行最简型方程组，从而能直接“读”出该线性方程组的解。因此用消元法解 元线性方程组的过程，相当于对该方程组的增广矩阵作初等行变换化成行最简型矩阵。

四、应用举例

例1：（系数矩阵为方阵，且有唯一解）

解三元非齐次线性方程组x■-x■-x■=22x■-x■-3x■=13x■+2x■-5x■=0。

解：矩阵形式Ax=b，其中A=■，x=x■ x■ x■■，b=2 1 0■，

方法一：（克莱姆法则）

A=■=3？摇A■=■=15？摇 A■=■=0？摇 A■=■=9

x■=■=5，x■=■=0，x■=■=3。

方法二：（逆矩阵法）

由于Ax=b，

x=A■b=■■■=■

方法三：（消元法）

■=■ ■

■ ■

■ ■

■

线性方程组的消元过程等价于矩阵的初等行变换。解得x■=5x■=0x■=3。

例2：（系数矩阵不是方阵）求非齐次线性方程组x■+x■+x■+4x■-3x■=12x■+x■+3x■+5x■-5x■=33x■+x■+5x■+7x■-6x■=4的通解。

解：只能使用消元法

（A b）=■→■→■→■

r（A b）=r（A）=3<5，故方程组有无穷多解。

即得与原方程组同解的方程组

x■=3-2x■+3x■x■=2+x■+4x■x■=-1-x■取x■，x■■=1，0■，0，1■，得导出组的基础解系为：

ξ■=-2，1，1，0，0■，ξ■=3，4，0，-1，1■（不唯一）令x■=x■=0，得原方程组的特解η■=3，2，0，-1，0■（不唯一）

原方程组的通解x=c■ξ■+c■ξ■+η■（c■，c■为任意实数）。

五、结束语

本文对线性方程组进行了分类，并讨论方程组的三种一般性解法。不难发现，在遇到具体线性方程组时由于它解的存在性和唯一性是不明确的。如果盲目选择解法可能会增加不必要的计算过程，并且无法得出真正的全部解。因此我们需要预先判断该方程组属于哪种分类，讨论它解的存在与唯一性，针对不同题型，选择恰当的解法。一般来说，当线性方程组的系数矩阵是方阵，且有唯一解时，本文总结的克莱姆法则、逆矩阵法和消元法均适用。当系数矩阵不是方阵时，只能使用消元法对系数矩阵做初等行变换来解方程组。

参考文献：

[1]刘薇.“生动”教学模式下线性代数的教学设计与实践[J].安庆师范学院学报（自然科学版），2015，21（3）：110-113.

[2]田晓娟，王利东.加强线性代数计算能力培养的教学模式探讨[J].科教文汇，2015，（6）：43-55.

[3]姜爱平.线性代数中矩阵章节基本概念及性质的教学方法探讨[J].高师理科学刊，2016，36（3）：48-51.

[4]吴贛昌.线性代数[M].北京：中国人民大学出版社，2011.

[5]刘洁晶，任金忠.线性代数课程分层教学探讨[J].衡水学院学报，2016，18（1）：105-109.