“借题发挥”探索解题的应用价值

黎康丽

【摘 要】学会解题是学习数学的关键之一，解题教学是数学教师的基本功，也是数学教学中的“微观艺术”。文章分别探讨了一题多解、一题多变、一题多用的教学价值，提出一题多解有助于拓宽学生的解题思路，发展其观察、想象、探索及思维能力；一题多变可以激发学生学习数学的兴趣，从而有效地提高学生的数学水平；一题多用既可以帮助学生掌握概念、定理以及运用数学知识的手段，又可以使学生掌握数学思想、数学方法，形成技能技巧以及数学能力。

【关键词】数学；解题教学；应用价值

文玩，不用不晶莹润泽；玉器，不盘不润泽透亮；香茶，不品不馥郁回甘；陈题，不整理不能体会解题之乐，不反思不能品味解题之趣。如果说解题的过程要出现思维火花的碰撞之美，那么比较陈题的多种解法，归纳解题思路，理顺解题策略就是把玩数学思维的千姿百态和欣赏数学方法的暖玉生香。

问题是数学的心脏，学习数学，关键之一是学会解题。解题教学是数学教师的基本功，也是数学教学中的“微观艺术”，而任何艺术的精彩之处和感人之处，也许就在这“微观”之中。“借题发挥”，探索一题多解、一题多变、一题多用的价值，以促进学生学会从多层次、广视角、全方位地认识、研究问题，培养学生的创新意识和创新能力。

一、一题多解的教学价值

一道数学题，由不同角度思考可得到多种不同的思路，广阔寻求多种解法，有助于拓宽解题思路，发展观察、想象、探索及思维能力。如何充分发掘利用例题的价值，是数学教育工作者不断探索的一个热点问题。重视习题潜存着进一步扩展其数学功能、发展功能和教育功能的可能性，从解题到独立地提出类似问题到解答问题，这个过程显然在扩大解题的武器库，学生利用类比和概括的能力在形成；辩证思维、思维的独立性以及创造性的素质也在发展。

如图，某煤气公司安装煤气管道，他们从点A处铺设到点B处时，由于有一个人工湖挡住了去路，需要改变方向经过点C，再拐到点D，然后沿与AB平行的DE方向继续铺设。如果∠ABC=135°，∠BCD=60°，那么∠CDE的度数为 。

思路分析：解答此类实际问题应先转化成数学问题，明确从实际问题中抽象出几何图形以及图形中的数量和位置关系，解决本题的关键是添加辅助线。通过观察可知，已知条件∠ABC、∠BCD与所求的∠CDE之间没有直接关系，要想计算∠CDE的度数，关键在于AB∥DE这个条件的应用。

解法一：延长ED至点G，交BC于点F。

∵AB∥GE

∴∠GFC=∠ABC=135°

∴∠DFC=180°-∠GFC

=180°-135°=45°

∵∠FDC=180°-∠DFC-∠FCD

=180°-45°-60°=75°

∴∠CDE=180°-∠FDC

=180°-75°=105°

解法二：延长ED交BC于点F。

∵AB∥EF

∴∠BFD=∠ABC=135°

∴∠DFC=45°

∵∠FDC=180°-∠DFC-∠FCD

=180°-45°-60°=75°

∴∠CDE=180°-∠FDC

=180°-75°=105°

解法三：过点C作CF∥DE。

则∠CDE+∠DCF=180°

∵AB∥DE

∴AB∥CF

∴∠BCF=∠ABC=135°

即∠BCD+∠DCF=135°

∵∠BCD=60°

∴∠DCF=75°

∴∠CDE=180°-∠DCF

=180°-75°=105°

二、一题多变的教学价值

一个例题，如果静止地、孤立地去解答它，那么再好充其量也只不过是解决了一个问题。把原题目进行变式，难度进一步加大，数学解题教学应突出探索活动，探索活动不仅停留在对原习题的解法上探索上，而应适当地有机地对原习题进行深层的探索，挖掘出更深刻的结论，这就是数学教学中的变式艺术。变式，是一种探索问题的方法，也是一种值得提倡的学习方法；变式，可以激发学生学习数学的兴趣，可以有效地提高学生的数学水平。

【变式一】如图，某煤气公司安装煤气管道，他们从点A处铺设到点B处时，由于有一个人工湖挡住了去路，需要改变方向经过点C，再拐到点D，然后沿与AB平行的DE方向继续铺设。如果∠BCD=50°，那么∠ABC+∠CDE= 度。

解：过C作QW∥AB

∵AB∥DE

∴AB∥DE∥QW

∴∠ABC+∠QCB

=180°，

∠CDE+∠DCW=180°

∴∠ABC=180°-∠QCB，

∠CDE=180°-∠DCW

∴∠ABC+∠CDE

=360°-（∠QCB+∠DCW）

∵∠BCD=50°

∴∠QCB+∠DCW

=180°-50°=130°

∴∠ABC+∠CDE=230°

【變式二】如图，已知AB∥DE∥CF，若∠ABC=60°，∠CDE=140°，求∠BCD的度数 。

解：

∵AB∥CF

∴∠BCF=∠ABC=60°

∵DE∥CF

∴∠DCF+∠CDE=180°

∴∠DCF=180°-∠CDE

=180°-140°=40°

∴∠BCD=∠BCF-∠DCF

=60°-40°=20°endprint

【变式三】如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE=140°，则∠BCD= 度。

方法一：像原题作CF∥DE，解题方法与原题一样，除了以上做法，经过思考同学们还有新的想法。

方法二：反向延长DE交BC于M。

∵AB∥DE

∴∠BMD=∠ABC=80°

∴∠CMD=180°-∠BMD=100°

又∵∠CDE=∠CMD+∠DCM

∴∠BCD=∠CDE-∠CMD

=140°-100°=40°

【变式四】如图1，已知AB∥CD，则∠α、∠β、∠γ三者之间的关系为 。

解：过点E作EF∥AB（如图2）

∴∠α+∠AEF=180°

∵AB∥CD

∴EF∥CD

∴∠FED=∠EDC

∵∠β=∠AEF+∠FED

又∵∠γ=∠EDC

∴∠α+∠β-∠γ=180°

三、一题多用的数学价值

教学例题大多有其广泛的应用，一题多解，实现“由点到线”的变化；一题多解，又实现“由线扩大到面”的变化；而“借题发挥”，则进一步实现“由面到体”的变化。这样，例题教学便可多层次、广视角、全方位地进行研究与拓展，充分发挥其潜能。一个有责任心的教师与其穷于以为是烦琐的数学内容和过量的题目，还不如适当选择某些有意义又不太复杂的题目，以帮助学生发掘题目的各个方面，在指导学生解题过程中，提高他们的才智与推理能力。探索解题，帮助学生掌握概念、定理及其数学知识的手段，又使学生掌握数学思想、数学方法，形成技能技巧以及培养学生数学能力的重要手段。

如图3，MA1∥NA2，则∠A1+∠A2= 度。

如图4，MA1∥NA3，则∠A1+∠A2+∠A3= 度。

如圖5，MA1∥NA4，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4= 度。

从上述结论中你发现了什么规律？

如图6，MA1∥NAn，则∠A1+∠A2+∠A3+……+∠An= 度。

为验证你的结论，请你对图4证明它的正确性。

如图3，180度；如图4，360度；如图5，540度；如图6，180（n-1）度。

证明：如图4，过点A2作PQ∥MA1。

∵PQ∥MA1，MA1∥NA3

∴PQ∥MA1∥NA3

∴∠A1+∠A1A2P=180°

∠PA2A3+∠A3=180°

∴∠A1+∠A1A2A3+∠A3=360°endprint