巧用列表法分析应用题

胡蝶

摘 要：在列方程解应用题中，用列表法来将题目所给条件和要求反映的基本量用表格呈现，使较为复杂的关系条理清楚、明朗，能较快发现等量关系，准确快速列出方程，降低解题难度。

关键词：应用题；列表法；一元一次方程

新课程改革标准在数学教育的目的中要求数学教育必须重视培养学生的应用意识。很多教育学家都认识到培养学生数学应用的意识和能力是一件不简单的事情，列方程，用方程思想去解决一些实际问题，不仅体现了学习数学的目的，而且它也是初中数学中的重难点之一。

应用题之所以是难点，因为解决它无一般公式可循。对于七年级的学生而言，特别是中等偏下水平的学生，他们在解应用题时往往失败较多，因此产生了“畏惧”的心理，面对应用题时会束手无策。究竟是哪些思维障碍影响了学生解应用题？笔者在反思教学实践中发现，较普遍的思维障碍来自三个方面：对基本的等量关系不理解造成的障碍，对表示的有关的未知量在思维活动中没有转化为已知量的思维定势造成的障碍，应用题中等量关系的复杂性和隐蔽性造成的障碍等。现就如何帮助学生克服这些思维障碍作一分析。

在列方程解应用题之前，首先应找到题目中的已知量、未知量和等量关系，然后根据等量关系，用字母代替未知数，列出需要的代数式和方程，再解这个方程，求出未知数的值。可见，“等量关系”是列方程的依据，又与问题中所有的基本量密切相关，抓住了等量关系就抓住了主要矛盾，就明确了思维的方向。用列表法来分析，将题目给出的条件和要求反映的基本量在一个表格中显示出来，使那些较为复杂的关系条理清楚、明朗，能较快发现等量关系，准确快速列出方程，大大降低解题难度。

如浙教版七年级数学上册中一元一次方程的应用题，一般都涉及三个基本量，根据三者的关系可用其中的两个量表示出第三个量，又有两种情况之分，一般可列成3×4表格来分析。

一、列表准备

在列表前，教师要引导学生认真审题，寻找等量关系。应用题中出现的等量关系一般有明显的等量关系和隐含的等量关系两类。

明显的等量关系，它是通过题中的一些关键词语表达出来。如多、快、共、提前、提高了、提高到、增加、降低、比……多、比……少等。它们与列方程有直接关系，因此必须弄清其确切意义，并在审题时予以充分注意，着重找出这些关键词语。

隐含的等量关系，其中一种是基本等量关系，比如速度×时间=路程，工作效率×工作时间=工作量，溶液×浓度=溶质，单价×数量=总价，以及周长、面积、体积公式。还有一种是根据题意分析出来的等量关系，如行程问题中的追及与被追及者所行时间或距离相等，同时出发到相遇所用时间相等；如配比中加入溶剂则溶质不变，加入溶质则溶剂不变，等等。这些隐含的等量关系，往往是解题的关键所在，都必须通过反复分析题意方能挖掘出来。

二、列表原则

根据题意，设计表型。在设计表型时应注意使表格纵向存在运算关系，横向存在比较关系；同时，表格力求简明，且能容纳题中所有数量关系。

三、填表顺序

从反复读题开始，边读边填。先填已知量，再填未知量及含未知量的代数式。表格填满后可根据等量关系列方程。

四、分类举例

1.调配问题

基本关系：原有量+变化量=现有量

例1.（浙教版七年级数学上册130页例5）学校组织植树活动，已知在甲处植树的有23人，在乙处植树的有17人。现调20人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍，应调往甲、乙两处各多少人？

分析：此题中有三个基本量：原有人数、增加人数、增加后的人数（三者关系为：原有人数+增加人数=增加后的人数），又有甲处、乙处之分。不妨設应调往甲处x人，则调往乙处（20-x）人，可列表格为：

注：表中①、②……表示填表顺序（下同）。

等量关系：甲处增加后的人数=2×乙处增加后的人数

可列方程：20+x=17+（20-x）

从上表可以看出，原有人数是已知的，增加人数是题目要求的，可用来设未知量；增加后的人数是用代数式表示未知量。此题就是用增加后的人数来找等量关系。

综上所述，运用这种方法来寻找应用题中的等量关系范围一下就缩小很多，学生是非常容易理解的，这对于教师的应用题教学也将大有益处。

2.行程问题

基本关系：速度×时间=路程

例2.甲、乙两人从相距为180千米的A，B两地出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速行驶。已知甲的速度为15千米/时，乙的速度为45千米/时，如果甲先行驶1时后乙才出发，问甲再行驶多少时间与乙相遇？

分析：此题中有三个基本量：速度、时间、路程（三者关系为：速度×时间=路程），又有甲、乙之分。不妨设甲再行驶x小时与乙相遇，可列表格为：

等量关系：甲行驶的路程+乙行驶的路程=

180

可列方程15（1+x）+45x=180

从上表可以看出，速度是已知的；时间是题目要求的，可用来设未知量；路程是用代数式表示未知量。此题就是用路程来找等量关系。

对于题目关系复杂、已知数量较多、等量关系不明显的题目，通过列表法就能很快地找出等量关系，从而列出方程，有效地提高解题效率。

3.工程问题

基本关系：工作效率×工作时间=工作量

例3.（浙教版七年级数学上册131页例6）甲每天生产某种零件80个，甲生产3天后，乙也加入生产同一种零件，再经过5天，两人共生产这种零件940个。问乙每天生产这种零件多少个？

分析：此题中有三个基本量：工作效率、工作时间、工作量（三者关系为：工作效率×工作时间=工作量），又有甲和乙之分。不妨设乙每天生产这种零件x个，可列表格为：

等量关系：甲的工作总量+乙的工作总量=940

可列方程80×（3+5）+5x=940

4.销售问题

基本关系：进价×（1+利润率）=售价

例4.甲、乙两种商品的进价一共是100元。实际出售时，甲商品提价10%，乙商品提价5%。出售后两种商品所获利润是两种商品进价之和的7%。两种商品的进价分别是多少？

分析：此题中有三个基本量：进价、利润率、利润（三者关系为：进价×利润率=利润），又有甲商品、乙商品之分。不妨设甲商品的进价为x元，则乙商品的进价为（100-x）元，可列表格为：

等量关系：甲商品获得的利润+乙商品获得的利润=7%×甲、乙两种商品的进价和

可列方程：10%x+5%（100-x）=7%×100

5.年龄问题

例5.（浙教版七年级数学上册128页作业题2）今年父亲的年龄是儿子年龄的3倍，5年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍。问今年父亲、儿子各几岁。

分析：此题中有三个基本量：今年的年龄、5年前的年龄（二者关系为：今年的年龄-5=5年前的年龄），又有父亲、儿子之分。不妨设今年儿子x岁，可列表格为：

等量关系：5年前父亲的年龄=5年后儿子的年龄×4

可列方程：3x-5=4（x-5）

6.售票问题

基本关系：单价×数量=总价

例6.某音乐厅五月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会，入场券分为团体票和零售票，其中团体票占总票数的■，若提前购票，则给予不同程度的优惠，在五月份内，团体票每张12元，共售出团体票的■。零售票每张16元，共售出零售票的一半。如果在六月份内团体票按每张16元出售，并计划在六月份内售出全部余票，那么零售票应按每张多少元定价才能使这两个月的票款收入持平？

分析：此题中有三个基本量：单价、数量、总价（三者关系为：单价×数量=总价），又有团体票、零售票之分。不妨设总票数为单位1，六月份零售票每张x元，可列表格为：

等量关系：五月份总票价=六月份总票价

可列方程：12×■×■+16×■×■=16×■×■+■×■x

此题数量较多，关系也比较复杂，对于学生来说，理解题意，理清量之间的关系有较大难度，但通过仔细阅读并列表，这些量及其关系就明朗化了。

通过以上例题可以看到，利用一元一次方程解应用题时，借用列表法来分析题目中复杂的数量关系，可以使题目中的数量关系简单化、明了化，准确快速列出方程，降低解题难度。

参考文献：

[1]张慧梅.列分式方程解应用题的方法[J].科技创新导报，2013（20）.

[2]田敏.运用列表法分析应用题[J].基础教育，2012.

編辑 赵飞飞