例说转化与化归思想

刘族刚　许诺

复数中的转化与化归

例1 求复数[7+24i]的平方根.

解析 设[z=a+bi（a，b∈R）]是复数[7+24i]的平方根，

由平方根的定义得，[z2=（a+bi）2=7+24i].

即[（a2-b2）+2abi=7+24i].

因为[a，b∈R]，利用复数相等得，[a2-b2=7，2ab=24，]

则[a=4，b=3，]或[a=-4，b=-3.]

故复数[7+24i]的平方根为[±（4+3i）].

点评 将复数的开平方运算转化为平方运算、将复数（虚数）问题通过复数代数形式化归为实数问题，是处理复数问题的基本策略.

立體几何中的转化与化归

例2 如图，在四棱锥[P-ABCD]中，[AB∥CD，]且[∠BAP=][∠CDP][=90°].

（1）证明：平面[PAB]⊥平面[PAD]；

（2）若[PA=PD=AB=DC]，[∠APD=90°]，求二面角[A-PB-C]的余弦值.

解析 （1）证明：因为[∠BAP=∠CDP=90°]，

所以[AB⊥AP，CD⊥DP].

又因为[AB//CD]，所以[AB⊥DP].

又[PA?PD=P]，[AB?平面PAB]，

所以平面[PAB]⊥平面[PAD].

（2）由于平面[PAB]⊥平面[PAD]，取[AD]的中点[O]，[PA=PD，∠APD=90°]，

所以[OP⊥平面ABCD].

以[O]为坐标原点，[OA，OP]为[x]轴、[z]轴（建系如上图）. 不妨设[PA=PD=AB=DC=2].

[则O（0，0，0），P（0，0，2），A（2，0，0），B（2，2，0），C（-2，2，0）.]

设平面[PBA]的一个法向量为[m=（x，y，z），]

则[m?AP=0，m?AB=0，]即[2x-2z=0，y=0.]

取[x=1]，则[m=（1，0，1）.]

设平面[PBC]的一个法向量为[n=（x，y，z）.]

则[n?PB=0，n?BC=0，]即[2x+2y-2z=0，x=0.]

取[y=1]，则[n=（0，1，2）.]

记二面角[A-PB-C]的平面角为[θ]，

则[cosθ=m?nm?n=（1，0，1）?（0，1，2）2?3=33].

点评 将立体几何中的一种位置关系转化为另一种位置关系，或转化为空间两向量的数量关系（共线与数量积坐标表示）. 将立体几何中的线面角化归为空间两向量夹角坐标表示，是立体几何最基本的解题策略.

解析几何中的转化与化归

例3 动圆[M]经过点[F（1，0）]，且与直线[x=-1]相切.

（1）求圆心[M]的轨迹[C]的方程；

（2）直线[l]过定点[F]与曲线[C]交于[A，B]两点：

①若[AF=2FB]，求直线[l]的方程；

②若点[K（k，0）]始终在以[AB]为直径的圆内，求[k]的取值范围.

解析 （1）由题意得，点[M]到点[F（1，0）]的距离与点[M]到直线[x=-1]的距离相等，所以点[M]的轨迹是以[F]为焦点，直线[x=-1]为准线的抛物线，其方程为[y2=4x.]

（2）设直线[l]：[x=my+1]，代入抛物线方程得，[y2-4my-4=0.]

再设[A（x1，y1），B（x2，y2）]，则[y1+y2=4m，y1y2=-4.]

①[AF=（1-x1，-y1），FB=（x2-1，y2）].

因为[AF=2FB]，

所以[-y1=2y2]，

联立[y1+y2=4m，y1y2=-4]解得，[m=±24].

即所求直线方程为[x=±24y+1].

②[KA=（x1-k，y1），KB=（x2-k，y2）].

因为点[K（k，0）]始终在以[AB]为直径的圆内，

所以[?m∈R]，[KA?KB<0].

即[?m∈R]，[（x1-k）（x2-k）+y1y2<0]恒成立.

亦即[?m∈R]，[（my1+1-k）（my2+1-k）+y1y2<0]恒成立.

也就是[?m∈R]，[4km2+4-（1-k）2>0]恒成立.

当[k=0]时，显然满足.

当[k≠0]时，则[k>0]，且[4-（1-k）2>0]，解得，[0

综上所述，[k]的取值范围为[[0，3）].

点评 解析几何是用代数方法研究几何问题，“将形化数、以数解形”是解析几何特点. 一般地，点[P]在以[AB]为直径的圆上（内、外）[?][PA?PB=0]（[<0，或>0]）.

函数与导数中的转化与化归

例4 已知函数[f（x）=x22e，g（x）=lnx]，

（1）求证：[?x>0]，[f（x）≥g（x）]恒成立；

（2）是否存在常数[a，b]，使得[?x>0]，都有[f（x）≥2ax+b≥g（x）]恒成立？若存在，求出[a，b]的值；若不存在，请说明理由.

解析 （1）设[h（x）=f（x）-g（x）=x22e-lnx]，

则[h（x）=x2-eex].

令[h（x）=0]得，[x=e].

所以函数[h（x）]的最小值为[h（e）=0，]

所以[h（x）=f（x）-g（x）=x22e-lnx≥0]，即[f（x）≥g（x）].

（2）假设存在常数[a，b]，使得对任意[x>0]都有[f（x）≥2ax+b≥g（x）]恒成立.

即[x22e≥2ax+b≥lnx]对任意的[x>0]恒成立.

而当[x=e]时，[12≥2ae+b≥12]，

所以[2ae+b=12]，则[b=12-2ae].

所以[h（x）=x22e-（2ax+b）=x22e-2ax-12+2ae≥0]恒成立.

①当[a<0]时，[h0=-12+2ae<0]，所以不成立.

②当[a>0]时，[Δ=（2a-1e）2≥0]，

所以[a=12e]，则[b=-12].

同理，令[φ（x）=lnx-1ex+12]，则[φ（x）=e-xex].

令[φ（x）=0]得，[x=e].

当[x∈（0，e）]时，[φ（x）>0]，[φ（x）]在[（0，e）]上单调递增.

当[x∈（e，+∞）]时，[φ（x）<0]，[φx]在[（e，+∞）]上单调递减.

所以[φ（x）]的最大值[φ（e）=0].

所以[lnx-1ex+12≤0]恒成立.

所以存在[a=12e]，[b=-12]符合题意.

点评 一般地，不等式恒成立、能成立问题，都可以转化为函数的最值问题. 如：[?x∈D]有[f（x）>A]恒成立[?][x∈D]时[f（x）min>A]；[?x∈D]有[f（x）A]成立[?][x∈D]时[f（x）max>A；][?x0∈D]有[f（x0）