例说分类讨论思想

匡婷　曾玄永

分类讨论思想具有很强的逻辑性、综合性和探索性，是我们必须掌握的数学思想之一. 然而，这种数学思想，一般是我们的“软肋”，具体体现在：不知道分类讨论的标准，不能合理地分类，有时重复，有时遗漏；有时分类太多，或者太繁，最后导致求解不完整；或者消耗时间过多，导致效率很低.

明确需要分类讨论的原因

1. 不同的情景中有不同的结论

例1 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表. 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. 设六月份一天销售这种酸奶的利润为[Y]（单位：元）. 当六月份这种酸奶一天的进货量[n]（单位：瓶）为多少时，[Y]的数学期望达到最大值？

解析 由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑[200≤n≤500].

（1）当[300≤n≤500]时，

若最高气温不低于[25℃]，则[Y=6n-4n=2n].

若最高气温位于区间[20，25]，

则[Y=6×300+2n-300-4n=1200-2n].

若最高气温低于[20℃]，

则[Y=6×200+2n-200-4n=800-2n].

[因此EY=2n×0.4+1200-2n×0.4+800-2n×0.2][=640-0.4n]，它是关于[n]的减函数.

（2）当[200≤n<300]时，

若最高气温不低于[20℃]，则[Y=6n-4n=2n] ；

若最高气温低于[20℃]，

则[Y=6×200+2n-200-4n=800-2n].

因此[EY=2n×0.4+0.4+800-2n×0.2=160+1.2n，]它是关于[n]的增函数.

所以[n=300]时，[Y]的数学期望达到最大值，最大值为520元.

点评 情景结合题中的最值问题大多都要进行分类讨论，比较不同条件下得出的最值的大小，从而得出整个问题的最值.

2. 参数的变化范围不同产生不同的结论

例2 平面内与两定点[A1（-a，0）]，[A2（a，0）（a>0）]连线的斜率之积等于非零常数[m]的点的轨迹，加上[A1]，[A2]两点所成的曲线[C]可以是圆、椭圆或双曲线. 求曲线[C]的方程，并讨论曲线[C]的形状与[m]值的关系.

解析 设动点为[M][（x，y）]，当[x≠±a]时，由题意可得，

[kMA1·kMA2=yx-a·yx+a=y2x2-a2=m]，

即[mx2-y2=ma2（x≠±a）].

又[A1（-a，0）]，[A2（a，0）（a>0）]满足[mx2-y2=ma2，]

故曲线[C]的方程为[mx2-y2=ma2].

当[m<-1]时，曲线[C]的方程为[x2a2+y2-ma2=1]，曲线[C]是焦点在[y]轴上的椭圆；当[m=-1]时，曲线[C]的方程为[x2+y2=a2]，曲线[C]是圆心在原点的圆；当[-10]时，曲线[C]的方程为[x2a2-y2ma2=1]，曲线[C]是焦点在[x]轴上的双曲线.

点评 讨论二元二次方程[Ax2+By2=1]（[A]，[B]不同时为0）所表示的曲线类型，往往通过比较[A]与[B]的关系来确定.

熟练掌握分类讨论的方法

例3 设函数[f（x）=ln（x+1）+a（x2-x）]，其中[a∈R].讨论函数[f（x）]极值点的个数，并说明理由.

解析 由题意得，[x>-1].

[f（x）=1x+1+（2ax-a）=2ax2+ax-a+1x+1].

令[g（x）=2ax2+ax-a+1]，[Δ=a（9a-8）].

（1）当[a=0]时，[g（x）=1]，此时[f（x）>0]，函数[f（x）]在[（-1，+∞）]上单调递增，无极值点.

（2）当[a>0]时，[Δ=a2-8a（1-a）=a（9a-8）.]

①当[0

②当[a>89]时，[Δ>0]，设方程[2ax2+ax-a+1=0]的两根为[x1]，[x2（x1

因为[x1+x2=-12]，所以[x1<-14]，[x2>-14].

由[g（-1）=1>0]可得，[-1

所以当[x∈（-1，x1）]时，[g（x）>0]，[f（x）>0]，函数[f（x）]单调递增；当[x∈（x1，x2）]时，[g（x）<0]，[f（x）<0]，函数[f（x）]单调递减；当[x∈（x2，+∞）]时，[g（x）>0]，[f（x）>0]，函数[f（x）]单调递增；因此，函數有两个极值点.

（3）当[a<0]时，[Δ>0]，由[g（-1）=1>0]可得，[x1<-1.]当[x∈（-1，x2）]时，[g（x）>0， f（x）>0]，函数[f（x）]单调递增；当[x∈（x2，+∞）]时，[g（x）<0， f（x）<0]，函数[f（x）]单调递减；所以函数有一个极值点.

综上所述，当[a<0]时，函数[f（x）]有一个极值点；当[0≤a≤89]时，函数[f（x）]无极值点；当[a>89]时，函数[f（x）]有两个极值点.

点评 要想进行正确合理地分类，必须采用统一的标准，做到不重不漏.利用导数讨论函数的单调性、极值、最值时，一是注意不要遗漏讨论二次项系数为0的情况；二是看[Δ>0]是否成立；三还要关注函数的定义域，并围绕它们展开分类讨论.

注意分类讨论的结论整合

例4 已知函数[f（x）=-23x3+2ax2+3x]，令[g（x）=][ln（x+1）+3-f（x）]，若[g（x）]在[（-12，+∞）]上单调递增，求实数[a]的取值范围.

解析 由题意得，[g（x）=ln（x+1）+3-（-2x2+4ax+3）][=ln（x+1）+2x2-4ax].

[∴g（x）=1x+1+4x-4a=4x2+4（1-a）x+1-4ax+1].

又當[x∈（-12，+∞）]时，恒有[x+1>0]，

设[h（x）=4x2+4（1-a）x+1-4a]，其对称轴为[x=a-12.]

（1）当[a-12≥-12]，即[a≥0]时，

[Δ=16（1-a）2-16（1-4a）≤0.]

解得，[-2

（2）当[a-12<-12]，即[a<0]时，

[h（-12）>0]，即[1-4（1-a）×12+1-4a>0.]

解得，[a<0.]

综上所述，实数[a]的取值范围是[a≤0].

点评 （1）含参不等式问题，首先要分清谁是主变量，谁是参变量，以参数为对象展开讨论，回答也应该以参数分类作答. （2）求满足题意的参数范围或者解关于[x]的不等式，对[x]进行分类讨论时，最后应求并集整理好后作答.

转换思维，简化分类讨论

例5 已知[f（x）=mx3-3x+1≥0（x∈R）]，若对于任意[x∈[-1，1]]都有[f（x）≥0]，求实数[m]的值.

解析 （1）当[x=0]时，无论[m]取何值，[f（x）≥0]显然成立.

（2）当[x>0]时，即[x∈（0，1]]时，[f（x）=mx3-3x+1≥0]化为[m≥3x2-1x3]，设[g（x）=3x2-1x3]，则[g（x）=3（1-2x）x4]，所以[g（x）]在区间[（0，12]]上单调递增，在区间[（12，1]]上单调递减.所以[g（x）max=g（12）=4]，从而[m≥4].

（3）当[x<0]，即[x∈（-1，0]]时，[f（x）=mx3-3x+1≥0]可化为[m≤3x2-1x3]，[g（x）]在[（-1，0]]上单调递增，因此[g（x）max=g（-1）=4]，从而[m≤4].

综上所述，[m=4].

点评 该解法明显优于常规解法，事实上，用分离参数可以使分类讨论有据可依，有法可循，有时甚至能够优化、避免分类讨论，如本题的条件改成“[x∈（0，1]]”的话，则更能体现分离参数的优势，避免了分类讨论.