基于Arnold变换和Logistic变换相结合的置乱算法研究

杨勃

摘要：本文分析了基于Arnold变换的图像置乱算法的优缺点，从而提出了基于Arnold变换和Logistic变换相结合的置乱算法。此算法不仅改变了图像的原貌，而且改变了图像的信息，安全性更高，具有一定的应用价值。

关键词：图像置乱；Arnold变换；Logistic变换

中图分类号：TP309.7 文献标识码：A 文章编号：1007-9416（2017）09-0119-02

1 引言

随着网络的不断发展，各类的图像信息在互联网中进行着传输。这其中不乏一些重要图像信息甚至是机密图像信息，如何保证这些图像信息的安全传输，是学者们研究的热点。我们可以通过图像置乱技术将原来的图像进行加密，经过传输，最后再通过解密将图像复原，从而达到安全传输的目的。目前经过大家对图像置乱技术的研究，提出了许多可行的算法。例如：Arnold变换、仿射变换、混沌变换等。基于Arnold变换的置乱算法是通过改变图像像素位置的一种图像加密算法，因其算法简单，容易实现，具有周期性，而被广泛应用。

2 Arnold变换

2.1 Arnold算法

Arnold算法定义为：

公式（1）中x，y∈{0，1，2，…，N-1}，表示变换前的像素坐标位置，N表示图像的大小，x'，y'表示变换后的像素坐标位置，mod为模运算。对于一幅N*N大小的图像，经过Arnold变换多次置乱后图像像素的坐标位置会发生改变，所以图像的原貌也会发生改变，从而达到置乱的效果。

2.2 Arnold变换的周期

对一幅图像运用Arnold算法经过多次迭代后原来的图像就会发生改变，但是图像经过有限次的运算后，图像又能够变化成原来的样子，这就说明Arnold变换是具有周期性的[1]。下面就是Arnold变换的周期公式：

公式（2）中N为图像矩阵的阶，n为变换周期。Arnold变换的周期性使得图像经过周期性变换又恢复到原始图像[2]。利用MATLAB计算Arnold变换的周期n 如表1所示。

2.3 Arnold变换的效果

为了验证Arnold变换的效果，我们对一幅256*256大小的图片做了仿真实验，置乱100次的实验结果如图1所示。

从实验结果可以看出Arnold变换能够将图片置乱，置乱效果良好，而且能够将置乱的图片恢复成原样。但是从图片的直方图可以看出，Arnold变换并没有改变原始图片的信息，置乱后图片的直方图和原始图片的一样。而且因为Arnold变换具有周期性，经过周期性变换后就能恢复成原样，所以经过Arnold变换的图像在知道置乱次数的条件下很容易被破解，安全性不高。

3 改进的置乱方法

3.1 改进的置乱方法的提出

从上面的实验结果我们得出Arnold变换可以对图像进行置乱加密，但是安全性不是很高。Arnold变换是通过改变图像像素的坐标位置进行加密，如果我们可以在Arnold变换的基础上再对图像的像素值加密，那么图像像素的坐标位置不仅进行了置乱，而且图像像素的像素值也进行了改变。这样置乱后的图像就完全发生了改变，图像的信息也进行了加密，置乱效果应该更优于Arnold变换。

3.2 混沌变换

混沌是指在一个确定性系统中，存在着貌似随机的不规则运动[3]。混沌理论具有非线性特性、不确定性、不可重复、不可预测、对初始条件敏感等特性，对于需要加密文件的处理有很好的应用，所以混沌理论被越来越多的运用到图像置乱算法中。Logistic映射算法是一种混沌变换算法，它是由R·May于1976年提出的，因其表达式简单且性能优良，被广泛运用到混沌映射中[4]。Logistic混沌映射定义为：

公式（3）中μ是分支参数，取值范围：0≤μ≤4。当0

3.3 改进的置乱方法的实施步骤

假设对一幅N*N大小的图像M进行置乱加密，第一步通过Arnold变换将图像M置乱得到置乱图像M'，第二步通过Logistic变换将置乱图像 M'置乱得到置乱图像M''，这样M''就是通过Arnold和Logistic双重变换得到的置乱图像。解密的过程是先通过Logistic逆变换将置乱图像M''恢复得到恢复图像D，再通过Arnold逆变换将恢复图像D恢复得到恢复图像D'，比较恢复图像D'和图像M，得出置乱恢复效果。

4 改进的置乱方法的实验结果分析

如图2所示，以一幅256*256大小的图片为例，用仿真实验来验证改进的置乱方法的效果。其中Arnold变换100次，Logistic变换时，μ=4，x=0.6。

通过上面的实验结果可以看出，Arnold和Logistic变换相结合的方法可以很好的对图片进行置乱，Arnold变换所的到的效果图虽然杂乱无章但是有律可寻，而两种变换相结合的方法所得到的置乱效果图文理细腻，颗粒平均分布，与原图相比已经完全失真，图像没有任何关联性，置乱效果良好。我们再从图像直方图可以看出，两种变换相结合的方法所得到的图像灰度值在整个灰度空间上均匀分布，看不到原图的任何信息。所以从以上两点可以得出：基于Arnold和Logistic变换相结合的置乱算法要优于单一的Arnold变换算法。

5 结语

本文介绍了一种基于Arnold和Logistic变换相结合的置乱算法，此算法通过对图像像素的坐标位置和像素值进行改变，从而达到对图像置乱加密的效果。通过仿真实验验证，可以看到此方法所得到的置乱图置乱加密效果显著，图像的原始信息完全被打乱，置乱效果更好，增加了破解难度，提高了图像传输的安全性，有一定的应用价值。

参考文献

[1]高飞，樊庆宇.基于Arnold变换的图像加密研究[J].阜阳师范学院学报：自然科学版，2015，2：92-96.

[2]孫晓龙，王正勇，何小海.Arnold变换在非方阵图像置乱中的应用[J].太赫兹科学与电子信息学报，2014，2：248-251.

[3]李厦.基于混沌映射的数字图像置乱算法[D].哈尔滨：哈尔滨理工大学，2008：8-9.

[4]宋莉莉.图像置乱算法及其评估研究[D].河北：河北工业大学，2014：25-28.