函数对称性简化多元函数积分问题研究

黄 永 ，李彦红

（昭通学院 数学与统计学院， 云南 昭通 657000）

函数对称性简化多元函数积分问题研究

黄 永 ，李彦红

（昭通学院 数学与统计学院， 云南 昭通 657000）

对称性在数学及其更广泛的领域有着重要的意义，在微积分计算中，对称性有着重要的简化运算作用.根据函数的对称性对多元函数的积分问题作深入系统的讨论.

对称性；多元函数；重积分；曲线积分；曲面积分

引言

对称性可简化一元函数的定积分，同样可以简化多元函数的积分.多元函数积分包括重积分和线面积分，线面积分计算是转化为重积分的计算，所以多元函数的积分问题最终是重积分的计算.本文将在文[2]基础上进一步利用函数的对称性与反对称性对多元函数积分问题作系统探讨.

函数的对称性实质是其几何图形或几何体的对称性，它包括几何图形或几何体关于点、关于直线及关于平面的对称.一元函数关于点、直线的对称性与反对称性有以下常用关系：

对于多元函数也有类似的结论，但多元函数的这些对称性情况较为复杂，这里主要就多元函数的一些特殊情形作讨论.

1 预备知识

则称 f(x,y)在D关于z轴对称（原点反对称）.

2 有关定理和推论

2.1 二重积分问题

定理1 若函数 f(x,y)在积分区域D关于平面x=0对称（反对称），则

即：

有

定理2 若函数 f(x,y)在积分区域D关于平面y=0对称（反对称），则

定理3 若函数 f(x,y)在积分区域D关于平面x=0与 y=0都对称，则

推论1 若函数 f(x,y)在积分区域D关于平面x=a对称（反对称），则

推论4 若函数f(x,y)在积分区域D关于平面y=x 对称，则

类似地，f(z,x)f(y,z)关于平行于坐标平面的平面、平行于坐标轴的直线及坐标平面上的点等对称，也有相应的结论.

2.2 三重积分问题

2.3 曲线积分问题

对于定义在平面或空间曲线段上的函数，其对称性同样不便从几何上解释，但上述结论仍可得到推广，有如下常用结论：

定理5 设函数f(x,y)在平面分段光滑曲线L连续.若曲线关于x对称，且则

推论6 设函数f(x,y)在平面分段光滑曲线L连续.若曲线关于x，y轴都对称，则

2.4 曲面积分问题

其中S1为面一侧的部分.

其中S1为第一卦限的部分.

3 函数的对称性应注意的问题

3.1 函数的对称性实质是其几何图形或几何体的对称性，二元函数的几何图像是三维空间中

3.2 由于第二型曲线（面）积分的积分曲线（面）是有向曲线(定侧曲面)的, 因此它的值不仅与被积函数和积分曲线（面）的几何形状有关,还与积分曲面的侧有关.在使用对称性时, 除了考虑被积函数和积分曲线（面）的几何形状这两方面的对称性，还要考虑积分曲线（面）上的法线方向的指向情况.因此在计算第二型曲线（面）积分时，一般应在将第二型曲线（面）积分化为第一型曲线（面）积分或二重积分后，再考虑是否可利用对称性来简化其计算.

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]黄永，康道坤.对称性性质简化一类定积分计算问题研究[J].陇东学院学报，2011（4）：1-3.

[3]冯爱萍．多元函数的对称性研究[J].西安科技大学学报，2007（3）：527-530.

[4]王宪杰．对称区域上二重积分和三重积分的计算[J].牡丹江师范学院学报，2007（4）：65－66．

[5]刘渭川．利用对称性计算曲线积分与曲面积分[J].河南科学，2006，24（6）：810－812．

[6]刘富贵．利用对称性计算第二类曲线积分与曲面积分的方法[J].武汉理工大学学报，2006，12（6）：1069-1072．

[7]陈云新．轮换对称性计算积分中的应用[J].高等数学研究，2001，4（1）：28－31．

Research on the Problem of Simplifying the Integration of Multiple Functions by Functional Symmetry

HUANG Yong, LI Yan-hong

(School of Mathematics and Statistics, Zhaotong University, Zhaotong 657000 China)

Symmetry is of important significance in mathematics and more extended region and it can simplify calculus calculation.In this paper we systematically explore of function of many variables Computing Problems by symmetry.

symmetry; function of many variables; multiple integrals; curve integral; surface integral

O172.2

A

2095-7408（2017）05-0009-03

2017-03-21

云南省教育厅科学研究基金资助项目 (2014Y499).

黄永（1966— ）女，云南昭通人，副教授，学士，主要从事基础数学和数学教育研究.