课本例题与高考试题

陕西 李 歆

课本例题与高考试题

陕西 李 歆

课本例题是教材的重要组成部分，是巩固基础知识，提高基本技能的重要载体，通过对课本例题的另解，对于深化学习，发展思维，开拓视野具有重要的指导作用.

1.例题呈现

北师大版《数学》(选修4-5)第8页有一道例题：

解不等式|x+1|+|x-2|≥5 ①.

2.解法再探

对上述例题，课本上利用不等式的几何意义给出了一种基本解法，通常解完题之后便“束之高阁”，如果我们从绝对值非负这个简单的性质入手，那么可以利用平方法以及方程思想给出另一种解法.

【解】对不等式①两边平方，得(|x+1|+|x-2|)2≥25，左边展开后，整理得x2-x-2+|x2-x-2|≥8 ②，若x2-x-2lt;0,则不等式②变为0≥8，出现矛盾，所以有x2-x-2≥0,由此由不等式②，得2(x2-x-2)≥8，整理得x2-x-6≥0，解得x≥3或x≤-2，所以不等式①的解集为{x|x≥3或x≤-2}.

【点评】上述解法既揭示了这道课本例题潜在的作用与价值，又链接了课本例题与高考试题之间的绿色通道.

3.链接高考

3.1关于|x-a|±|x-b|≥c型不等式的解集问题(alt;b).

【例1】(2013·辽宁卷·24)已知函数f(x)=|x-a|，其中agt;1.

(Ⅰ)当a=2时，求不等式f(x)≥4-|x-4|的解集；

(Ⅱ)已知关于x的不等式|f(2x+a)-2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值.

原参考答案给出的解法用到了分类讨论思想，利用上述解法，可以绕过讨论，迅速获解.

【解】(Ⅰ)当a=2时，由|x-2|≥4-|x-4|，得|x-2|+|x-4|≥4，两边平方后，整理得x2-6x+8+|x2-6x+8|≥6 ③，若x2-6x+8lt;0,则不等式③变为0≥6，出现矛盾，所以有x2-6x+8≥0,由此由不等式③，得2(x2-6x+8)≥6，整理得x2-6x+5≥0，解得x≥5或x≤1，所以不等式f(x)≥4-|x-4|的解集为{x|x≥5或x≤1}.

【点评】对学生的解题能力要求较高.但是，按照前面例题的解法求解本题第(Ⅰ)问，二者的解法竟然是完全的一致，使这道看似难度较大的试题变成了易题.由此说明，高考题并不神秘可怕，只要对课本例题的另解加以探究，就会找到高考题解法的“源头活水”.因此，同学们学习解题，不应拘泥于某个固定的思路、某种常规的方法，而要始终站在“回归课本，回归基础”的高度，在那些固定的、常规的思路与方法中寻找新的解题“亮点”，从而打破思维定势的束缚，让自己的解题智能在不断创新中得到历练与提高.

【变式1】已知函数f(x)=|x-a|，其中0lt;alt;1.

【变式2】已知函数f(x)=|x-a|，其中alt;0.

(Ⅰ)当a=-1时，求不等式f(x)≥2-|x|的解集；

(Ⅱ)已知关于x的不等式f(x)-f(x+a)≤0的解集为{x|x≤-1}，求a的值.

3.2关于|x-a|-|x-b|≥f(x)型不等式的解集问题(alt;b).

【例2】(2017·全国卷Ⅲ·23)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|.

(Ⅰ)求不等式f(x)≥1的解集；

(Ⅱ)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空，求m的取值范围.

【点评】一般解法是先把函数f(x)变成分段函数，然后分类求解，这样做比较麻烦，而且很容易出错,而利用前面课本例题的解法，却可直达目的.

【变式1】已知函数f(x)=|x-1|-|x+2|.

(Ⅰ)求不等式f(x)≥1的解集；

(Ⅱ)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空，求m的取值范围.

【变式2】已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|.

(Ⅰ)求不等式f(x)≤1的解集；

(Ⅱ)若不等式f(x)≤x2-x+m的解集非空，求m的取值范围.

3.3关于f(x)≥|x-a|+|x-b|型不等式的解集问题(alt;b).

【例3】(2017·全国卷Ⅰ·23)已知函数f(x)=-x2+ax+4，g(x)=|x+1|+|x-1|.

(Ⅰ)当a=1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；

(Ⅱ)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1]，求a的取值范围.

按照前面课本例题的解法，我们可以“借题发挥”，由此打开解题突破口.

【解】(Ⅰ)当a=1时，由f(x)≥g(x)，得-x2+x+4≥|x+1|+|x-1| ⑨，因为|x+1|+|x-1|≥2，所以由不等式⑨，得-x2+x+4≥2，整理得x2-x-2≤0，解得-1≤x≤2.

对⑨式两边平方后，整理得x4-2x3-9x2+8x+14≥2|(x+1)(x-1)|，易知此不等式左边有零点-1，所以得(x+1)(x3-2x2-6x+14)≥2|(x+1)(x-1)|，对此式两边再平方，整理得(x+1)2(x3-3x2-4x+12)(x3-3x2-8x+16)≥0，对此不等式左边第二个和第三个因式分解因式，得x3-3x2-4x+12=x3-2x2-(x2+4x-12)=x2(x-2)-(x-2)(x+6)=(x-2)(x+2)(x-3)，x3-3x2-8x+16=x3-4x2+(x2-8x+16)=x2(x-4)+(x-4)2=(x-4)(x2+x-4)，所以有(x+1)2(x-2)·(x+2)(x-3)(x-4)(x2+x-4)≥0 ⑩，

(Ⅱ)由f(x)≥g(x)，得-x2+ax+4≥|x+1|+|x-1|，因为|x+1|+|x-1|≥2，所以由不等式，得-x2+ax+4≥2，整理得x2-ax-2≤0，依题意，得(-1)2-a×(-1)-2≤0，且12-a×1-2≤0，解得-1≤a≤1.

【点评】本题参考答案给出的解法用到了分类讨论以及函数的单调性，思考的跨度较大，思维的容量较宽，在解题的每一个细节处往往容易出错.但是，按照前面课本例题的解法，思维比较单一，只要对“分组分解法”分解因式比较熟练，就可以一路畅通，直达目标.虽然对不等式⑨在平方后的转化处理中稍显复杂一些，但是不等式⑩的出现，却达到了“柳暗花明又一村”的可喜效果.在第(Ⅰ)问和第(Ⅱ)问的解法中，都用到了“|x+1|+|x-1|≥2”这个隐含的条件不等式，对解题的突破具有举足轻重的作用.尤其是第(Ⅰ)问，首先利用这个不等式，对不等式⑨加以转化，获得解集，才使得不等式⑩的求解化难为易，顺利获得解集，否则，这种解法仍将面临险境.

【变式1】已知函数f(x)=-x2+ax+2，g(x)=|x+1|.

(Ⅰ)当a=1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；

(Ⅱ)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1]，求a的取值范围.

【解】(Ⅰ)当a=1时，由f(x)≥g(x)，得-x2+x+2≥|x+1|，因为|x+1|≥0，所以由不等式，得-x2+x+2≥0，整理得x2-x-2≤0，解得-1≤x≤2.

(Ⅱ)由f(x)≥g(x)，得-x2+ax+2≥|x+1|，因为|x+1|≥0，所以由不等式，得-x2+ax+2≥0，整理得x2-ax-2≤0，依题意，得(-1)2-a×(-1)-2≤0，且12-a×1-2≤0，解得-1≤a≤1.

【变式2】已知函数f(x)=-x2+ax+2，g(x)=|x-1|.

(Ⅰ)当a=-1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；

(Ⅱ)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1]，求a的取值范围.

【解】(Ⅰ)当a=-1时，由f(x)≥g(x)，得-x2-x+2≥|x-1|，因为|x-1|≥0，所以由不等式，得-x2-x+2≥0，整理得x2+x-2≤0,解得-2≤x≤1.

(Ⅱ)由f(x)≥g(x)，得-x2+ax+2≥|x-1|，因为|x-1|≥0，所以由不等式，得-x2+ax+2≥0，整理得x2-ax-2≤0，依题意，得(-1)2-a×(-1)-2≤0，且12-a×1-2≤0，解得-1≤a≤1.

陕西省武功县教育局教研室)