立足生本课堂 培养数学素养
——“三次函数的图象和性质”教学设计

张 亮 田泽华

立足生本课堂 培养数学素养
——“三次函数的图象和性质”教学设计

张 亮1田泽华2

“人在课中央”是对人与课的辩证关系形象而又准确的描述，充分体现了新课标所倡导的“以人为本”的教育理念。在高中数学教学中，通过问题驱动，激发学生求知欲，激活学生思维，促进学生自主学习、合作学习和深度学习；通过小组探究、汇报交流，让学生内隐的心理活动、知识内化过程通过外显的行为表现出来，培养学生自主探究、乐于探索的品质；通过自主命题，培养学生提出问题、解决问题的意识与能力，服务于学生的生命成长和终身发展。

三次函数；问题驱动；小组探究；自主命题

“人在课中央”是对人与课的辩证关系形象而又准确的描述，充分体现了新课标所倡导的“以人为本”的教育理念。课堂是教学的主阵地，追寻课堂教学的本意和灵魂，就应该以学生为整个教学的中心，服务于学生的学习和发展。教师需要从课堂的主宰者转变为学习资源的整合者、学习方法的指导者、学习效果的评价者，在预设的教案中及时做加减法，使教学的深度、广度适合学生的知识水平和接受能力，同时又根据学生的个性特点和个别差异，贯彻因材施教原则，为不同层次的学生搭建支架，以满足学生的需要，促进学生主动学习和深度学习。

笔者有幸参加了第12届“杏坛杯”课堂教学展评活动，并尝试在“三次函数的图象和性质”一课的教学中让学生始终置身于课堂的中央、教学的中心。本课的学习是以导数研究函数的方法为主线,探索三次函数的图象特征和相关性质。通过问题驱动，学生自主建构导数研究函数的方法；通过小组探究、汇报交流,学生经历知识的形成过程；通过自主命题、提出问题，学生实现知识和方法的自我反思和内化等。这样的教学设计和安排有效地突出了教育教学活动的学生主体性，培养了学生的逻辑思维能力，自主探究、乐于探索的品质以及提出问题、解决问题的意识与能力，服务于学生的生命成长和终身发展。本课主要的教学过程如下。

一、教学过程

1.问题引入，明确作图方法。

问题 1：画出函数 f（x）=x2+2x-3的大致图象。

请学生上黑板作图，根据学生的回答归纳出3种作图思路：描点作图，根据性质作图和借助一次函数研究二次函数，从而得到图象。

（设计意图：在学生已经掌握二次函数的基础上通过对一个二次函数大致图象作图方法的讨论，明晰作图的常用方法，为下一步研究做了知识和方法上的铺垫，激活学生思维。）

2.引出课题，构建探究方法。

问题 2：借助二次函数 f（x）=x2+2x-3，可以研究哪类函数的性质呢？请画出的大致图象。

（学生上黑板作图）

师：请说说作图过程。

生：由 f（x）=x2+2x-3 的值为正、负、零得到三次函数的增区间（-∞，-3）、（1，+∞），减区间（-3，1）和极值点x1=-3、x2=1，再作出函数简图。

师：我们根据二次函数值为正、负、零的情况，得到三次函数的增、减区间和极值点，进而作出大致图象。这为我们研究三次函数提供了一种方法——利用导函数研究函数。

（设计意图：利用求导函数的原函数的方式引出课题，同时提供探究实例。在探究三次函数的图象和性质的过程中，引导学生构建利用导数研究一般三次函数图象和性质的方法，培养学生解决问题的能力。）

3.合作探索，汇报交流。

问题 3：探究三次函数 f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的图象和性质。

生：因为导函数 f′（x）=3ax2+2bx+c 的 Δ=4（b2-3ac），其值正负情况为：①a＞0，Δ＜0 时，无极值点，f′（x）＞0；②a＞0，Δ=0 时，无极值点，f′（x）≥0；③a＞0，Δ＞0有两个极值点，当 x∈（-∞，x1）∪（x2，+∞）时，f′（x）＞0，当 x∈（x1，x2）时 f′（x）＜0；④a＜0，Δ＜0 时，无极值点，f′（x）＜0；⑤a＜0，Δ=0 时，无极值点，f′（x）≤0；⑥a＜0，Δ＞0时，有两个极值点，当 x∈（-∞，x2）∪（x1，+∞）时 f′（x）＜0，x∈（x2，x1）时 f′（x）＞0。

师：其他小组需要补充吗？

生：Δ＜0与Δ=0两个类型可以合并成一类，因为它们对应的函数都是单调的，所以只要分成四类就可以了。

师：很好！由单调性和极值点我们就可以作出函数简图了。请完善表1。

师：我们已经知道二次函数首项系数a和Δ对图象的影响，三次函数的首项系数a和Δ对图象分别有什么影响呢？a＞0和a＜0时对应的图象有什么区别？

表1

生：当 a＞0 时，图象右向上；当 a＜0 时，图象右向下。

师：二次函数的Δ影响着函数零点个数，那么三次函数的Δ呢？

生：当Δ≤0时，函数无极值点；当Δ＞0时，函数有两个极值点。

师生共同完善，得到如下表2：

表2

师：我们对三次函数的图象和性质已经有了一个整体的认识，请大家接着思考。

问题 4：研讨三次函数 f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）零点个数的条件。

生：当Δ≤0或极大值、极小值同号，三次函数有一个零点；极大值或极小值为零，三次函数有两个零点；极大值、极小值异号，三次函数有三个零点。

（设计意图：小组合作探究，在经历知识的形成过程中培养学生乐于探索的品质。通过小组交流、汇报展示等方式，获取准确学情信息，对教学作出及时调整，提供最适合学生学情的教学。）

4.反思总结。

问题5：请以单调性、极值点或零点为条件，编制一道三次函数问题，同桌交换完成解答。

（教师巡视，并请学生上台分享编制的题目与解答）

问题6：针对本节课的学习，你能提出一个新的问题吗？

（设计意图：让学生自主命题并交流分享，既指向了深度学习，又能照顾到学生的个体差异，让不同的学生有不同的发展。培养了学生反思的习惯，以及提出问题的意识与能力。）

二、教学反思

1.问题驱动，促进学生思维深化。

“问题解决”是数学教育的核心，在课堂教学中设计“好”的问题是极其重要的。而“好”问题需要考虑三个维度：一是问题的提出应从学生的已有经验出发，引起学生思考和解决的欲望；二是必须有足够的思维空间，让学生翱翔其中，体验数学的发现和创造历程；三是问题与问题之间要有内在的逻辑联系，形成“问题链”，使学生的思维始终处于“问题提出—问题解决”的状态中，防止思维碎片化。

本节课中，以6个问题为一条线，引导学生思考。从学生已有认知和经验出发提出问题1，激活学生的思维。而问题2、3、4、5的提出分别建立在前一个问题的基础上，环环相扣，有效保证了思维的完整性和连续性。提出的问题越来越开放，思维空间越来越大，激发了学生的求知欲，进一步激活学生思维，有效促进了学生自主学习、合作学习和深度学习。

2.小组探究，培养学生探索能力。

教与学的各种任务，如根据从缺少思考到富于思考的操作方式，按它们在连续过程上达到的水平来区分和识别，一般分为记忆、解释性理解和探究性理解三个层次［1］。探究性理解水平通常称作高认知水平。数学探究与其说是一种教学形式，不如说是一种尊重学生主体和指向思维培养的活动。这要求教学中必须改变以教师为主的讲授甚至是灌输的传统教学思维，要“少占多让，少扶多放”，在数学探究的过程中给学生时空上和思维上充分的自由度，这也是数学探究真正发生和走向深度的必要保证。［2］

在问题3的探究过程中，以小组为单位，相互间充分地讨论、探究，合作完成了对三次函数图象和性质的探索。通过小组交流、汇报展示等方式，让学生内隐的心理活动、知识内化过程通过外显的行为表现出来，以获取准确的学情信息，对教学作出及时调整，提供最适合学情的教学。

3.自主命题，培养学生提问意识。

陶行知在《每事问》一诗中写道：“发明千千万万，起点是一问。”把发明创造的起点归结于“一问”，意思是指科学创造源于提问，没有问题就没有创新。让问题成为知识的纽带，培养学生发现问题和提出问题的意识和能力，既是重要的课程目标，也是发展学生数学核心素养的基本要求。

本节课在学生掌握了相关知识方法后，打破了常规的例题解析、练习反馈的模式，让学生自主命题并交流分享。问题6对学生提出了更高要求与挑战，学生可以提出知识上、方法上、思想上的问题，并向老师或同学寻求解答。这样的教学安排既指向了深度学习，又能照顾到学生的个体差异性，培养了学生提出问题的能力与创造创新的精神。

［1］STEIN M K，SMITH M S，HEEEINGSEN M A，等.实施初中数学课程标准的教学案例［M］.李忠如，译.上海：上海教育出版社，2001.

［2］张亮.构建探究途径深化数学思维［J］.江苏教育，2016（11）.

G633.6

A

1005-6009（2017）59-0031-04

1.张亮，南京市第一中学（南京，210001）教师，一级教师；2.田泽华，南京市第一中学（南京，210001）教师，高级教师。

【团队推荐】

教育教学是个系统。2017年“杏坛杯”课堂教学展评活动的主题是“人在课中央”，这一主题突出了教育教学系统中最为活跃、也最为核心的三个要素：“人”“课”“人课关系”。这是在当前教育教学改革背景下，对教育教学回归本原的一种呼唤、一种号召：“基于人，成全人，为人所用，促人成长”。

张亮老师是我校的一名优秀教师，曾获南京市优质课评比一等奖。得到参加2017年“杏坛杯”课堂教学展评活动的通知后，从对活动主题的理解和把握，到对受教学生的基本学情到教学设计的完成，都进行了认真调研和思考，并先后听取了我校诸位名师及其他同事的意见和建议，对本次展评进行了精心的准备。

1.以“三次函数的图象和性质”为课题，是对函数模型的补充与拓展，是对导数应用的巩固与深化。

虽然学生已掌握了几种常见的基本初等函数模型，但在现实生活、例题习题、高考试题中都有很多问题是以三次函数为载体进行学习研究的。所以有必要对三次函数进行比较系统、全面的研究学习，了解和掌握它的图象和基本性质。

导数是近代数学的重要基础，是微积分的基础知识，是联系初、高等数学的纽带。三次函数是导数内容中最简单的高次函数，其导函数是二次函数。因此，三次函数是利用导数研究函数的一个重要载体。

2.对教学内容的处理详略得当、主次分明、重点突出。

在研究函数特性时，往往需要知道函数的直观图象，通常，我们可以用描点法作出函数图象，这种图象一般是粗糙的，在一些关键点附近函数的变化状态，不一定能确切地反映出来。学习导数之前，对基本初等函数的研究都是先图象后性质，由“形”到“数”。而利用导数及其性质，可以较为准确地描述函数的动态。本课例就是先引导学生通过对导函数性质的研究，揭示刻画出三次函数图象的单调变化趋势，画出函数的示意图，由“数”到“形”后，再进一步通过观察图象，由“形”到“数”，由直观感知到理性论证，得到三次函数较为准确的图象和基本性质，在这一过程中“数形结合”的数学思想体现得淋漓尽致。在归纳出一般三次函数的图象和定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、零点个数等基本性质后，限于课时，张亮老师并未让学生进一步探究三次函数图象的对称中心、凹凸性等其他性质，这样既给学生的进一步自主探索“留白”，又能让学生在本节课的探究学习过程中有足够的时间和空间感悟、提升、升华。

本课例虽然以 “三次函数的图象和性质”为课题，但却是以三次函数为载体，重点是让学生掌握利用导数研究函数性质的一般步骤和方法。其研究过程和方法具有普适性、一般性，对于较为复杂的初等函数，就会根据其代数性质，研究其函数图象和性质。在本课例中，无论是从问题引入、课中探索、课后思考，都充分体现了这一设计意图。

3.教学方法施用合理、得当。

新一轮高中课程改革标准中强调：所谓数学探究，主要是指学生进行数学探究性课题的学习，即学生围绕特定的数学问题，自主进行探索、探究与学习的过程；让学生站在课堂中央，就要创造更多的学习活动机会，让他们质疑、释疑、体验、探究等。

本节课的探究活动突出了三大特点：一是注重设置有价值的探究问题；二是让学生自己确定探究策略（如问题3、问题4）；三是足够的开放性（如问题 5、问题 6）。

通过问题1、问题2，创设探究情境，引入课题，然后通过一系列问题串引导学生自主、独立发现问题、思考问题、提出问题、解决问题，整个过程有明显的探索、探究与创新特点，真正有益于学生发现问题、分析问题与解决问题能力的培养，对培养与提高学生的创新意识、创新能力都具有重要意义。

问题3采用小组合作探究教学法，要求学生以小组为单位对教师提出的问题进行讨论，教师不对探究策略作出限制，各小组派代表阐述探究结果，教师进行总结、评价，这样一方面激发了各小组竞争意识，调动了学生学习积极性；另一方面，教师还可针对学生的接受能力、数学基础知识掌握程度，因材施教，让每个学生都能找到学习的成就感，树立学习导数知识的自信心。

“知识内化了才能成为能力，能力升华了才能成为素养”。通过开放性问题5、问题6的设计，让学生设计问题、提出问题、发现问题、解决问题，有效地调动了学生学习积极性，促进了学生对知识方法的内化，增强了学生的学科素养。

（推荐人：田泽华）