旋转体体积计算的微课教学设计

段影影　李彬　李淑龙

摘要：微课以微视频为载体，易于让学生聚焦在教学的重难点上，方便学生的自主学习。高等数学中的旋转体体积的计算是利用微元法解决的一类经典问题，也是学习的难点。本文首先分析了微课的特点，介绍了旋转体体积的教学背景，继而详细探讨了旋转体积的微课设计。

关键词：微课；旋转体体积；微元法；圆盘法

中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）50-0198-03

微课是相对于常规课程来说的一种微小的课程，优势如下：（1）帮助学生开展自主化、个性化的学习，可以课前预习以及课后复习，并且能让学生更好地把注意力集中于课程要点；（2）帮助其他教师提高教学能力或者部分替代教师。教师一方面可以通过微课资源学习别人的教学方法，另一方面有些问题讲解不到位时可以直接利用微课资源。

本文的微课设计采用问题驱动的思路，先给出实际问题，然后分析问题的难点，构思解决该问题的知识点是什么，并给出典型例题完整的分析过程。给学生展示发现问题、分析问题和解决问题的过程，并梳理知识体系，再提出更深入的问题。以下是微课选题——旋转体体积的计算。

一、教学背景

生物医学工程专业的高等数学教学注重应用。要求学生理解数学的应用价值，又要掌握重要的数学思想和严谨的解题过程。旋转体体积是微元法能解决的经典问题，选取微元是难点又是关键。高等数学中微元法的教学安排是先计算曲边梯形面积，再增加难度计算旋转体体积，然后推广到物理、化学以及医药学上的应用。由平面到立体，由形象到抽象。其中旋转体体积的教学部分承上启下，而且应用较广泛。很多学生对这个问题无法理解透彻，不能灵活变通地选取微元。

二、微课设计思路和重难点

整个教学过程分为四个部分：

1.什么是旋转体？通过应用案例调动学生兴趣，引出什么是旋转体，为什么要计算旋转体体积，如何用数学语言描述这类计算。首先给出圆柱体形成的动画，通过熟悉的圆柱体引出旋转体的数学定义，旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体，这直线叫做旋转轴。动画能充分调动学生的注意力，并引导学生学会数形结合和描述动画，再给出严谨的具有普遍性的定义。

由简到难，引导学生思考实际中还有哪些旋转体，引出其实际应用的介绍，结合学生的年龄特征，有选择地介绍实际应用：橄榄球，陀螺、机器零件、花瓶、巫婆的大锅和外科手术中的人造髋关节（图1至图2）。如何计算这些复杂的旋转体的体积或容积？首先，把这类计算让学生用数学语言描述，描述为问题一。

2.圆盘法计算旋转体体积。这部分内容是重点也是难点。微元法就是将研究对象（物体或某种物理过程）进行无限地细分，再从中抽取出某一微小的部分进行分析研究和讨论，找出被研究对象的整体变化规律。结合图形和动画重点讲解如何选取旋转体的体积微元，其中动画的制作需要教师花费大量的时间；

问题一：一般地，由连续曲线y=f（x）、直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形（图3）绕x轴旋转一周而成的立体，体积为多少？

分析问题，想象曲边梯形旋转后是什么形状（图4）？

引导学生回忆前面介绍的微元法。微元法分两个步骤，第一步选取所求量的微元，包含无限分割和近似代替的思想，第二步对微元积分，包含了求和及取极限的思想。类似的，如果计算旋转体体积也用微元法，它的微元如何选取？

第一步选取体积微元。首先分割旋转体，层层递进，再引导学生思考如何分割？如图4沿着垂直于x轴的方向把旋转体分成很多薄片，显然每个薄片都是薄圆盘。先求出薄圆盘的体积，把它们累加起来就是整个旋转体的体积。薄圆盘的体积如何求？在图3中取小区间[x，dx]，小区间对应的小曲边梯形绕x轴一周得到薄圆盘。到这里，得到旋转体的体积公式，微元法的应用，以后的课程还会有专题介绍在物理和医学上的应用。化整为零，近似代替求微元是微分的思想；积零为整做积分是积分的思想，体现了微分和积分完美的结合。

以上两个步骤计算这类问题时，只有图1的平面图形也能实现计算。首先，求体积微元，在图1区间[a，b]内，取点x，给一个增量dx，得到小区间[x，dx]，x对应的函数值f（x）是薄圆盘的底面半径，小区间长度dx是它的厚度。第二步，把第一步计算的薄圆盘的体积近似值既微元从a积分到b。甚至不需要画立体图形，减少画图的困难，也可以锻炼空间想象能力。

旋转体的微元是薄圆盘的体积近似值，所以又称为圆盘法，有的书上称作切片法或者柱片法。

拓展与思考，设疑问，如果换个方向分割旋转体，微元还会是圆盘吗？让学生想象并举例示意。曲边梯形如果绕着x轴旋转，只有垂直于旋转轴x轴的方向切才能选取圆盘为微元。这由旋转轴决定，也决定了积分变量是x。

典型例题用熟悉的椭球体：计算橄榄球的体积，并给出严谨的求解过程，巩固圆盘法的理论，并且训练思维的严谨性以及清楚的数学表达。计算由椭圆绕x轴旋转出的椭球体体积。由对称性容易看出，整个椭圆和上半椭圆转出的体积相同，而且左边一半椭圆和右半椭圆相同，所以只要计算出第一象限的椭圆旋转的体积再乘以2就可以得到整个旋转体体积。

3.拓展和思考。增加难度改变曲边梯形，提出问题二。

问题二：由连续曲线y=R（x），y=r（x），直线x=a，x=b所围成的曲边梯形（图7），绕x轴旋转一周而成的立体，体积为多少？

由于此时只有平面图形，要锻炼学生的空间想象能力。图7中的曲边梯形绕x轴旋转一周得到的旋转体体积是什么样的？给出旋转后的图像（图8），提示学生注意旋转体的中心，部分是空心的。这是问题二的难点，但是不给出计算思路，留給学生课下写出它的计算公式。微课程应有恰当设计的提问，掌握好问题的难度是教师的重要基本功，这是启发式教学中必要的。灵活使用多样化的提问策略促进学生思考。PBL教学法更强调以问题为导向，这对开发学生的学习能力、培养科学思维非常重要。endprint

前面講的都是以x轴为旋转轴，再进一步改变旋转轴，提出问题三。

问题三：旋转体是由连续曲线x=φ（y）、直线y=c、y=d及y轴所围成的曲边梯形（图9）绕y轴旋转一周而成的立体，体积为多少？

引导学生想象出旋转后的形状（图10），帮助学生理解如何选取微元，并引出下次课的柱壳法计算旋转体积。

4.小结。概括重点内容，帮助学生梳理思路，强调重点和难点，并引出下次课的问题。

三、教学反思

微课是教师教学经验和智慧的结晶，学习者可以重复看以强化知识点学习，其价值在共享应用能更好地体现。还有必要丰富微课的呈现形式，真人讲解之外结合动画卡通、电子黑板、学生讨论过程、典型错题的比较等。利用多种手段将知识以趣味化的方法呈现出来，激发学习者自主学习的兴趣。

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[5]蒋立兵，万力勇，陈佑清.面向用户体验的微课设计框架构建与应用[J].电化教育研究，2017，（02）.

Abstract：Micro-lecture presents a single knowledge point. Micro video is the important part of Micro-lecture. Students are easy to focus on the key point or difficulty point in the micro-lecture. facilitate students' Autonomous learning. Calculate the volume of solid of revolution is a kind of classical problem，the common method is the element method，but it is difficult to learn. This paper first analyzes the characteristics of the micro lecture，introduces the teaching background of the volume of the solid of revolution，then discusses the design of the micro lecture.

Key words：Micro-lecture；the element method；volume of solid of revolution；pan methodendprint