由两个等边三角形组合得到的一些思考

孙颉刚

数学是研究数量关系和空间形式的一门学科。“图形与几何”在初中数学中地位非常重要，在中考数学中也占有相当大的比重，掌握基本图形与基本模型是非常有必要的。笔者将两个等边三角形组合在一起，通过平面几何中的平移、旋转等变换，得到了一些精彩的结论，现与大家做一个交流。

一、基本模型与基本结论

如图1，点是线段上的一个动点，分别以线段在同侧构造等边和。如图2，连接交于点与交于点，与交于点，我们可以得到以下结论：

1.全等的结论：

（1）

（2）

（3）；

2.角度的结论：（或）；

如图3，连接BF，GH，我们还可以得到以下结论：

3.是等边三角形；

4.BF平分；

5.（可用相似证明）；

二、将图形“动起来”

1.将绕着点B旋转，可得如下图形：

在图4和5中，都可以通过等式性质证明：

于是通过“SAS”都可以证明：

同时还发现一個重要的结论：直线AC与直线DE所成的锐角始终为60°，这个可以旋转来说明，即AC和DE是旋转过程中的对应边，而旋转度数为60°，且在旋转过程中，这样的关系始终保持不变，所以直线AC与直线DE所成的锐角始终为60°，这是变化中的不变量，命题者只有抓住这些本质属性，才能更好地去命题。

2.如图，将等边△ABC的顶点C与等边△DEF的顶点F重合，然后将等边△DEF沿着射线CA进行平移，可得到如下几个图形（图6-9）：

图7中，我们可以发现两组三角形是相似的：

（1）（2）

当△DEF平移到图8位置时，我们有：

当△DEF平移到图9位置时，我们有：

特别的，当△DEF的顶点D刚好落在边AB上时（图10），连接BE，AF，是否有BE∥AF呢？

通过探究，我们发现以上两个结论在这种情况中都成立，即有以及另外一个相似：

（2）于是进一步思考，如果△DEF有两个顶点在△ABC的两条边上呢（如图11）？

在这个图形中，有多少组相似三角形呢？

通过研究，我们发现

所以有多少组相似三角形的问题就变成了一个排列组合问题，当然不要忘了本身的两个等边三角形是相似的。

我们进一步将图形特殊处理，当△DEF的三个顶点分别落在△ABC的三边上（如图12所示），且AE=1，AD=2，则DE的长度是多少？

通过上述四组相似的启示，我们可以进一步得知：如图13，过点E作ME∥BC交AB于点M，通过构造等边△AME可证∠AED=90°，于是通过勾股定理可以得到

三、图形运动中的最值问题

（1）如图14，设线段AC的长度为，则点B在线段AC上运动的过程中，△ABD与△BEC的面积之和有最小值吗？

设则

所以当时，面积之和最小为

（2）连接，的外接圆的面积有最小值吗？

我们知道，外接圆圆心是三角形三边的垂直平分线的交点，作∠DAB与∠ECB的角平分线交于点O，根据等边三角形三线合一可以知道，AO和CO其实就是边DB和BE的垂直平分线，于是可以得到一个结论：在点B在线段AC运动过程中，△BDE的外接圆圆心始终不变，即为点O，OB即为半径，当OB⊥AC时，即为半径最小时。

设则此时点B为线段AC的中点：

，所以

四、图形运动中的其他问题

如图16，当点B在线段AC上运动时，DM，EN分别是高，那么DM与EN之和是定值吗？这道题当然可以用代数方法解决，但是我们思考了一种几何方法，先把图形补充完整，如图17所示。

显然△AQC也是等边三角形，且过点Q作QH⊥AC，我们猜想，证明三条不在同一直线上和差问题，方法通常采用“截长补短”，这里在借助平行四边形的性质，即可很快得到答案，证明了我们的猜想，这就是变化中的不变量，也成为压轴题常考的类型。

等边三角形具有“中心”，如图18，找到△ADB的中心O，则在点B从点A运动到点C的过程中，O的轨迹是什么？它运动了多少距离呢？

这里又涉及到轨迹问题，由于篇幅有限，留给读者自行思考。

以上就是我对由两个等边三角形组成的图形的一些思考，其中包括了很多数学知识、数学概念、数学思想方法，以及中考热点题型在里面，值得数学老师以及爱好者们共同探讨；数学就是一个浩瀚的海洋，有无穷无尽的美丽风景等待我们去探索和发现。