如何上好一节数学概念课

郭源源

一、教学背景的简析

“分式”是章节的起始课，属于概念课.笔者对这种课的感受是“不难上，难上好”，换句话说，大众课难以出彩.为此笔者没有采用大众化的上法（通过问题情境产生代数式——分类辨析出定义——概念的应用拓展），笔者认为想让学生从根本上认同这个概念，还需要从它产生的必要性和合理性来引入.

其一，学生的认知结构中已经有了分数和整式的概念，那为什么还要引入“分式”，相比而言“分式”有什么特殊的优势，而这种优势是分数和整式做不到的.针对这一点，笔者设计了“从整到分，从数到式”的活动1来阐释“分式”产生的必要性.

其二，从“分式”的构造上来看，“分式”是否真的和“整式”一点联系都没有.“分式”可否认为是“整式”之间通过某种运算构造出来的.针对这一点，笔者设计了“分式构造”的活动2来解释分式和整式的关联.

二、教学设计的简述

活动1

（1）40 m2的房子，有12的面积铺地板，则地板的面积是m2；

（2）40 m2的房子，有13的面积铺地板，则地板的面积是m2；如果有6套这样的房子，则地板总面积是m2.

【设计意图】有了“整数”和“小数”，为什么还要引入“分数”？让学生充分感受到“分数”的优势，一方面，分数使数学中的问题结果更加简单明了，另一方面，也有助于问题的进一步运算.这样的设计既让学生认同了整数到分数知识逻辑的合理性，也为后面的整式到分式打好铺垫.

（3）a m2的房子，有1b的面积铺地板，则地板的面积是m2；如果有2b套这样的房子，则地板总面积是m2.

【设计意图】这一问将所有的数字换成了字母，从“数”的问题变成了“式”的问题；让学生理解一方面，当结果计算无法用整式呈现时，学生只能用一类新的式子（即“分母中带有字母”的式子）呈现是唯一的出路；另一方面，这一类“分母中带有字母”的式子也更加有利于进一步的式运算.所以在数到式的发展过程中，这“新类型式子”的诞生是必然的，是有必要的.

在学生理解了“分母中带有字母”的式子产生的必要性和合理性之后，就应该给这样的式子定义一个名称，即分式.整式和分式之间有联系吗？通过整式之间的运算可以构造出分式吗？

活动2

在（a+1），3，（a-1）这三个整式中，每名同学任选两个整式进行加、减、乘、除运算，把所得的结果填在学习单上.

问：① 所得结果都是整式吗？② 新的代数式有何特征？③ 它是由整式之间的何种运算构造出来的？④ 你能从运算构造上给分式下个定义吗？

【设计意图】让学生理解整式和分式并不是毫无关联的两个概念，整式之间的运算可以产生分式；同时让学生在经历了“分母中带有字母的式子就是分式”这样简单的认识之后，又更加完善地领悟了分式的完整定义：“一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫作分式”.

活动3

求分式a-3a+2的值.

（1）a=3；（2）a=-25；（3）a=-2.

【设计意图】笔者并没有直接提问，当a为何值时分式a-3a+2没有意义；而是改用“倒逼”的方法，当a=-2学生会出现各种错误，然后逼着学生回头思考这个问题当分母为0时，究竟值是0还是无意义，从而总结出分式有意义的前提：分母不为0；在学生的概念形成过程，笔者认为不要刻意去回避一些常见的认知错误，“碰壁”也是一次很好的纠正机会.

活动4

关于分式x2-1x-1.

（1）何时分式无意义；（2）何时分式有意义；（3）何时分式的值为0.

【设计意图】这样的题目既要兼顾到分子，也要兼顾到分母，要求学生对无意义、有意义、值为0三种情形的前提要了如指掌.让学生在问题解决中滋生困惑，并在逻辑追问下实现对抽象知识的逐层破解与吸纳，并深化概念过程中渐次体悟“去杂”思想（从有限的“无意义”出发研究无限的“有意义”）.以问题开放为节点，回流贯穿本章始终的分式概念，进而探得概念的“完形”.

活動5 归纳总结

说说本节课我们是怎么研究分式的？

你能用结构图的方法画出我们“式”的研究顺序吗？

你会用分式这样的研究方法，去研究后阶段将要学到的“无理数到无理式”吗？

【设计意图】站在思想方法的平台上进行思维追溯，以对数学的本质理解为理念，走出千篇一律的设计，给学生留下“带得走”的东西，让学生能在数学的道路上越走越远.

三、概念教学的简思

1.通过恰当的背景引入，结合前期同类知识在接下来研究过程中出现的困惑和不足，从而揭示引入新概念的必要性.

学生建构一个概念需要有直观感觉、体验感知、反思感悟三个阶段，那么如何让学生在这三个阶段体会引入新概念的必要性呢？其实，很多概念都有其产生的数学背景，这需要教师根据这些背景选择恰当的切入点，在背景的选择过程中一般需要关注以下两点：一是学生已有的基础知识和基本方法已不能解决新出现的问题，学生通过实例感知需要引入新概念或者将原有概念进行延伸推广.二是选择的背景具有普适性，能提炼出概念的本质属性，并且通过背景问题的解决学生直观感知概念的研究方法和研究方向.总之通过问题驱动，解决背景问题，明确如何解决问题，进入体会概念引入过程中蕴含的数学思想方法，感知知识与方法生成的必要性.

2.通过师生的互动，不断地提出问题、解决问题，促使学生思维的碰撞，揭示引入概念的合理性.

概念的生成过程，不仅可以完善知识结构，更能提升学生的认知水平.从本节课来看，笔者的设计并没有草率快速地强调概念的关键词和分析概念结构并记忆，而是在概念的生成过程中，不断提出新的问题，引导学生不断想办法解决问题，反复冲击学生的思维，引导学生将所得的结论用规范的文字语言或符号语言表示，让学生体会引入概念的合理性.