基于高斯伪谱法的高超声速飞行器再入制导研究

仲维昆，屈泉酉，原劲鹏，武文斌

(1.北京空间飞行器总体设计部，北京 100094; 2.中国兵器工业第203研究所，西安 710065)

基于高斯伪谱法的高超声速飞行器再入制导研究

仲维昆1，屈泉酉1，原劲鹏1，武文斌2

(1.北京空间飞行器总体设计部，北京 100094; 2.中国兵器工业第203研究所，西安 710065)

针对高超声速飞行器再入标准轨迹制导方法中存在的制导准备周期长、弹上需存储标准轨迹参数、制导鲁棒性较差等缺点，提出一种基于高斯伪谱法与滚动时域控制技术相结合的高超声速飞行器再入预测-校正制导方案;其中，在线高斯伪谱法采用纵/侧向结合、全程一体化的制导算法思路，实现了对高超声速飞行器再入弹道的全程预测制导;同时结合滚动时域控制技术从工程上实现了高超声速飞行器再入制导中对开环制导信息的闭环应用，完成了飞行器预测-校正制导方案;通过对高超声速飞行器再入制导过程进行仿真分析，结果表明应用文章设计的基于高斯伪谱法与滚动时域控制技术相结合的高超声速飞行器再入预测-校正制导方案，飞行器再入过程中具有良好的制导性能。

高超声速飞行器； 预测-校正； 高斯伪谱法； 滚动时域控制

0 引言

高超声速飞行器再入制导方法根据是否存储制导信息可以分为标准轨迹制导方法和预测-校正制导方法两大类。预测-校正制导方法由于具有无需存储标称轨迹参数、制导鲁棒性强以及制导准备周期短等优点，逐渐成为未来高超声速飞行器再入制导发展的重点方向。文章将结合高斯伪谱法与滚动时域控制方法，研究高超声速飞行器再入一体化制导方案。这里的一体化是指两方面，其一是再入飞行器纵/侧向制导的一体化设计；其二是再入飞行器全程弹道无分段的一体化设计。飞行器再入过程中基于在线预测制导模型，应用高斯伪谱法快速计算得到的纵/侧向通道制导指令，结合滚动时域控制技术不断实时更新、输出制导指令，完成有约束情况下的高超声速飞行器再入制导[1]。

1 高斯伪谱法

高斯伪谱法是求解最优控制方法中直接法的一种，又可称为正交配点法。它首先将原系统状态变量以及控制变量在一系列的Gauss点上进行离散化。其次应用Largrange插值多项式对已离散的系统状态变量及控制变量进行拟合逼近。以此将原系统微分方程、约束方程等转化为代数方程约束。而原连续系统状态变量的导数也通过对离散化后的系统状态变量全局插值多项式的求导代替[2]。同时对于原连续系统最优控制问题中积分项，则通过对原系统相应状态量、控制量的插值多项式进行高斯积分求得到。

经过上述一系列变换，高斯伪谱法已将原系统最优控制问题转化为一种非线性规划问题。针对非线性规划问题，文章利用成熟的非线性规划求解器对原问题进行求解。具体表示基于高斯伪谱法求解最优控制问题的相关步骤可得：

1)时域变换

首先对原连续系统时间进行高斯变换，将时间区间由t∈[t0,tf]转换到τ∈[-1,1]，因此引入时域变换：

(1)

则原连续系统经时间归一化后，性能指标函数即为：

(2)

则原连续系统经时间归一化后，系统动力学微分方程即为：

(3)

则原系统经时间归一化后，系统边界条件和约束即为：

(4)

2)状态变量和控制变量的离散化

高斯伪谱法基于K阶的Legendre插值多项式Pk(τ)去逼近经时间离散化后的系统状态变量和控制变量，其中：

(5)

因为在进行系统状态变量、控制变量离散时，Legendre-Gauss点仅分布在区间(-1,1)上。所以为了近似原系统状态变量、控制变量量的初值，需在离散时间区间内增加一个点τ0=-1。由此构成K+1阶的Lagrange插值多项式Lagi(τ)(i=0,···,K)将作为基函数在时间区间内逼近原系统状态变量和控制变量。综上所述，可得原系统状态量离散形式为：

(6)

原系统控制变量离散形式为：

(7)

其中:Lagrange插值基函数为：

(8)

3)微分方程变换

因为原系统状态变量已经由Lagrange插值多项式在时间区间内离散化，所以原系统状态方程亦可以表示为相应代数方程形式，即：

(9)

其中:D∈RK×(K+1)为系统微分矩阵，可以通过离线计算得到。则可得原系统微分方程的代数表达形式为：

(k=1,···,K)

(10)

4)性能指标变换

原系统状态变量、控制变量均已有Lagrange插值多项式在时间区间内离散化。则原连续系统最优控制性能指标亦可由相应变量离散形式表示。而性能指标函数中存在的积分可由插值多项式的Gauss积分近似。

则原系统性能指标函数可表示为：

(11)

5)终端状态变换

(12)

由式(12)可知，系统终端状态可由初始状态的Gauss积分近似求解。综上可知系统终端状态表达式为：

(13)

通过上述系统变量离散化、微分方程代数化等步骤，已把原系统最优控制问题转换为非线性规划问题。而非线性规划问题的求解已经具备足够多的求解方法，例如可以采用序列二次规划(SQP)的方法进行求解。由于非线性规划问题不是文章研究的重点，所以不做详细论述。仅应用基于Matlab软件平台的GPOPS-2软件包对最优控制问题、非线性规划问题进行求解[3-4]。

2 滚动时域控制

考虑高超声速飞行器再入制导动力学微分方程可以通过非线性微分方程加以描述：

(14)

基于高斯伪谱法在线求解高超声速飞行器再入预测制导指令后，由于求解得到的制导指令为开环形式，无法直接作用于飞行器制导控制回路。所以需要对已生成的开环制导指令进行处理，而滚动时域控制恰好解决开环制导指令如何进行闭环制导的问题。

因为滚动时域控制方法需要在线实时获得伪谱法计算所需初始状态并应用其计算所得制导指令，这就对在线高斯伪谱法的轨迹优化时间以及滚动时域制导更新周期做出了限制。高超声速飞行器再入制导过程中的为了加快在线轨迹优化算法收敛速率，通常选取第一次轨迹优化结果作为伪谱法轨迹规划中状态变量、控制变量的参考值，并在再入优化过程中不断迭代更新参考值，以达到减小在线轨迹规划时间的目的。

而对于滚动时域制导更新周期，Ross通过合理的假设和严谨的数学推倒，建立了滚动时域控制中制导信息更新最大时间间隔和Lipschitz常数之间的关系。但是这只是从数学理论上推倒得到的滚动时域控制时间间隔条件。由于在实际应用中相关公式所需参数不易获得，所以滚动时域控制时间间隔将采用仿真试凑与分析的方法加以确定[6]。

3 预测-校正再入制导方法

结合文章前两小节内容，可知应用基于高斯伪谱法与滚动时域控制相结合的高超声速飞行器再入预测-校正制导方法具体步骤如下：

1)初始参数装订：建立高超声速飞行器再入预测-校正算法数学模型，确定高超声速飞行器再入点、目标点状态信息。建立高超声速飞行器再入过程约束模型及其计算方法，确定高超声速飞行器再入过程约束、终端状态约束参数值。其中在线轨迹规划算法满足高超声速飞行器再入过程中的过载、热流、动压以及平衡滑翔条件等约束。同时需离线设计满足在线计算时间、制导鲁棒性要求的滚动时域控制指令更新周期；

2)飞行器在线制导指令计算：高超声速飞行器再入后需实时测量在线轨迹优化算法所需系统状态量和控制量，应用高斯伪谱进行在线轨迹规划，生成制导指令。其中，在线轨迹规划算法规划的弹道为由当前高超声速飞行器所处状态至目标点的弹道参数，制导指令为纵/侧向一体化计算结果；

3)飞行器制导指令的应用：基于高斯伪谱法在线计算所得高超声速飞行器再入纵/侧向制导指令为由当前状态至终端状态的制导参数。而应用滚动时域控制后，在当前制导指令更新周期内，飞行器再入过程中仅应用伪谱法计算所得制导指令的前T秒。通过不断的高超声速飞行器不断在线计算、更新，以此达到闭环制导效果。

4 仿真验证与分析

高超声速飞行器再入大气层后采用无动力滑翔方式攻击指定目标。而飞行器再入过程中采用倾斜转弯控制方法，因此再入过程中具有较强的侧向机动能力和较大的侧向位移。这就要求在设计高超声速飞行器再入制导方法时，要充分考虑高超声速飞行器再入过程中地球自转以及飞行器倾侧对再入过程制导效果的影响[7]。因此，建立高超声速再入轨迹优化模型时将考虑地球自转以及飞行器倾侧的影响，所以再入制导三自由度模型如下所示：

(15)

(16)

(17)

其中：ωe为地球旋转角速度；σ为速度偏角，即为飞行器速度方向与正北方向的夹角；υ为飞行器侧倾角，即飞行器升力方向与飞行器所处铅锤面的夹角；λ为飞行器所处经度值；φ为飞行器所处纬度值。

文章在研究高超声速飞行器再入制导中，对飞行器横向机动能力没有特殊的要求，同时再入过程中未考虑飞行器禁飞区等因素对再入飞行器射程的影响。因此在高超声速飞行器其再入过程中，其再入下降段和平衡滑翔段的横向射程相较其纵向射程而言是一个小量[8]。所以再入飞行器射程可近似按下列公式计算，即：

(18)

其中:R0为地球半径。

(19)

再入轨迹优化过程约束为：

(20)

再入轨迹优化性能指标为：

(21)

应用高斯伪谱法求解最优控制问题时，选取飞行器初状态参数为：

初始速度：V0=3 700 m/s；

初始高度：H0=70 km；

初始弹道倾角：Θ0=0°；

初始弹道偏角：ψv 0= 90°。

制导仿真要求末状态为：

终端速度：Vf=1 000 m/s；

终端高度：Hf=0 km；

终端速度倾角：Θf=-80°；

终端射程：Lf=3 000 km。

高超声速飞行器再入过程中为了保证在线轨迹优化的快速性、实际制导指令的连续性以及对参数不确定的鲁棒性，选取的制导指令更新周期应本着综合考虑再入制导指令计算时间、再入制导误差影响等因素的思路，折中选取具有较高快速性、较小制导误差、较强制导鲁棒性的制导指令更新周期[10]。

因此在综合考虑以上因素后，文章中选取滚动时域控制中制导指令更新周期为10 s。

应用高超声速飞行器再入初始状态、终端状态、过程约束等参数，进行高超声速飞行器再入预测-校正制导方法仿真验证。其仿真结果如图1～5所示。

图1 高度随时间变化、经纬度变化示意图

图2 速度、弹道倾角随时间变化示意图

图3 弹道偏角、攻角随时间变化示意图

图4 倾侧角、射程随时间变化示意图

图5 攻角导数、倾侧角导数随时间变化示意图

对仿真结果进行分析可知，应用基于高斯伪谱法与滚动时域控制相结合的高超声速飞行器再入制导方法，飞行器高度、速度随时间变化平缓，再入过程中弹道无剧烈抖动情况出现。飞行器高度、速度参数满足再入过程中对动压、热流约束的要求。而高超声速飞行器再入过程中攻角、倾侧角导数指令虽在图中有较大调变，但是由于在设计时已考虑攻角、倾侧角导数变化率对实际攻角、倾侧角指令的影响，设计了其变化率最大值约束。所以即使攻角、倾侧角导数变化剧烈，却不影响实际再入制导指令攻角、倾侧角的连续以及可实现性。通过对图1～图5弹道仿真结果的分析可知，高超声速飞行器再入过程中，其弹道参数满足过载约束要求。

综上可知，应用高斯伪谱法与滚动时域控制相结合的再入飞行器预测-校正制导方法，其制导指令具有较高的可实现性，飞行器弹道平缓，满足过载、动压、热流以及平衡滑翔约束要求。

高超声速飞行器再入过程终端状态如表1所示。

表1 末端状态情况

高超声速飞行器再入预测-校正制导方法满足再入制导过程满足对过载、动压以及热流的约束限制，制导精度满足高超声速飞行器再入制导要求，再入过程可是实现对终端速度、速度倾角的控制。其中：速度控制误差为10/s；速度倾角控制误差为0.5°；射程控制误差为2.7 km；可见应用基于高斯伪谱法与滚动时域控制相结合的飞行器再入预测-校正制导方法，对飞行器再入终端状态具有良好的控制效果，其终端参数控制误差满足设计要求，制导效果良好。

5 结论

文章以高超声速飞行器再入制导问题为研究对象，通过建立高超声速滑翔飞行器再入预测制导模型，再入飞行器过程约束模型以及飞行器再入终端状态约束模型，应用高斯伪谱法在线实时规划高超声速飞行器再入剩余弹道，并生成飞行器开环制导指令。其指令生成算法满足高超声速飞行器纵/侧向、全程再入弹道一体化设计要求，制导指令具有较高连续性、较强可实现性。同时，文章结合滚动时域控制技术，应用基于伪谱法实时解算出的开环制导信息更新高超声速滑翔飞行器再入制导指令，用分段开环的制导指令的方式达到高超声速飞行器再入整体闭环制导的效果。经弹道仿真验证可知，这种基于高斯伪谱法与滚动时域控制相结合的高超声速飞行器再入预测-制导方法，再入弹道平缓满足飞行器再入过程约束要求，同时此制导方法对飞行器终端状态具有良好的控制效果，其制导性能满足再入飞行器对落点精度等性能指标的要求。

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Research on Reentry Integrated Guidance Law of Hypersonic Velocity Aircraft Based on the Gauss Pseudo-spectral Method

Zhong Weikun1，Qu Quanyou1，Yuan Jinpeng1，Wu Wenbin2

(1.Beijing Institute of Spacecraft System Engineering，Beijing 100094, China；2.No.203 Research Institute of China Ordnance Industries, Xi′an 710065, China)

In order to solve the problems of the re-entry process of hypersonic velocity aircraft by using the standard trajectory method. Article gives a Gauss pseudo-spectral method to solve the re-entry problem of hypersonic velocity aircraft. The guidance combines the Gauss Pseudo-spectral Method and the Rolling-time Control Method. For the Gauss Pseudo-spectral Method which based on the integration idea that includes the vertical and the lateral side. And the integration includes All-trajectory integration also. By using the Rolling-time Control method, the guidance could realize the open-loop orders. As the result of the simulation, the data shows that after combine the two methods of Gauss Pseudo-spectral and the Rolling-time Control in hypersonic aircraft guidance control, the aircraft achieve a satisfactory result in re-entry trajectory.

hypersonic velocity aircraft；prediction-rectification；Gauss pseudo-spectral method；rolling-time control

2017-05-14；

2017-06-08。

仲维昆(1986-)，男，山东曹县人，硕士生，工程师，主要从事航天器项目管理、星务数据管理、姿轨控制等方向的研究。

1671-4598(2017)12-0106-04

10.16526/j.cnki.11-4762/tp.2017.12.028

V411.8

A