平凡中的不平凡

在赞扬某人时，我们常常这样说：“×××在平凡的工作岗位上干出了不平凡的成绩.”这就是说，只要努力，平凡中就会孕育着不平凡！

同样，在数学中，从平凡的事实（结论）出发，只要你善于用探索的目光去看待它们，往往就会得出不平凡的结论！请看下面的例子：

图1例1在△ABC内任取一点O，连结AO，BO，CO，将这个三角形分成三个小三角形，那么，这三个小三角形的面积之和就等于整个三角形的面积（如图1所示），即

S△AOB+S△BOC+S△AOC=S△ABC.①

你可能认为：这不是废话吗？谁不知道呢？

那好，我们将①变形为：

S△AOBS△ABC+S△BOCS△ABC+S△AOCS△ABC=1.②

你可能会说：这不是一回事吗？

那好，我们继续变形：分别延长AO，BO，CO交对边于D，E，F，此时会有结论：

S△AOBS△ABC=OFCF，S△BOCS△ABC=ODAD，S△AOCS△ABC=OEBE.③

将③代入②，得：OFCF+ODAD+OEBE=1.④

此时，你还认为结论④那么不值一提吗？如果你不知道结论④的来源的话，那么结论④绝对算得上一道难题！

你可能说了：结论③算是平凡的结论吗？我怎么不知道呢？

其实，结论③虽不像结论①②那样简单，但也不算复杂，因为大家都知道“同高的两个三角形面积的比等于它们的底之比”.于是有：

S△AOFS△ACF=OFCF，S△BOFS△BCF=OFCF.故S△AOFS△ACF=S△BOFS△BCF=OFCF.

由等比性质，得：

S△AOF+S△BOFS△ACF+S△BCF=OFCF，即S△AOBS△ABC=OFCF.

同理可得：S△BOCS△ABC=ODAD，S△AOCS△ABC=OEBE.

好了，我们还是继续探索吧！

如果说结论①②还算得上是平凡的事实（结论）的话，那么，下面的结论⑤连平凡都算不上，简直什么都不是！！！

在图1中，有结论：

S△AOBS△BOC×S△BOCS△AOC×S△AOCS△AOB=1.⑤

因为分子、分母约分之后就是1嘛！

但你千万不要约分，因为那样一来就什么也没有了！

我们同样仿照上面的思路，看一看这些面积的比可用哪些线段的比来表示呢？

根据“同高的两个三角形面积的比等于它们的底之比”有：

S△ABES△BCE=AECE，S△AOES△COE=AECE，故S△ABES△BCE=S△AOES△COE=AECE.

由等比性质，得：S△ABE-S△AOES△BCE-S△COE=AECE，

即S△AOBS△BOC=AECE.

同理可得：S△BOCS△AOC=BFAF，S△AOCS△AOB=CDBD.

将它们代入⑤，得：AECE×BFAF×CDBD=1.⑥

结论⑥可不是一般的结论，它就是大名鼎鼎的塞瓦定理中的一个命题！

（注：塞瓦定理包括两个命题，其另一个命题是：若AECE×AFBF×CDBD=1，则AD，BE，CF交于一点.）

图2例2如图2，等腰三角形ABC中，AD、BE分别是底边和腰上的高，则易知：

S△ABC=2S△ABD.⑦

这可以说是一个再简单不过的事实了，但你千万不要小看它，因为据此可以得出高中数学中很重要的一个公式：sin2α=2sinα·cosα，请看：

设等腰三角形ABC顶角为2α、腰长为a，则：

BE=a×sin2α，BD=a×sinα，AD=a×cosα.

将它们代入⑦，得：

12×a×a×sin2α=2×12×a×sinα×a×cosα.

即：sin2α=2sinα·cosα.

感言我们不要小看平凡，因为平凡中常常孕育着伟大！如果你没有从平凡中看到不平凡，那说明你的眼光还不够犀利，还不够独特，看待问题还没有与众不同！希望大家从上例中受到启发，养成从独特的视角看待问题的习惯，长期坚持下去，你也许就会有伟大的发现！退一步讲，即使沒有伟大的发现，那你也一定会成为一个思路敏捷、想法独特的人！

作者简介王彦红（1973—），女，中学一级教师，主要从事中学数学教学研究.endprint