线性代数中几个核心概念的内部联系及分析

雪莲 媛媛

【摘要】数学作为高校理工类必修学科之一，其中线性代数对工科数学及相关专业学习都起着重要作用.但线性代数因其概念抽象、计算困难等原因，很多学生在学习时十分迷茫，无从下手.这主要是因为学生对于线性代数的几个核心概念之间的联系认识不足，没有形成系统化的知识体系.本文通过对线性代数中几个核心概念的提出及推导进行分析，探究核心概念之间的联系.

【关键词】线性代数;核心概念;内部联系

线性代数作为讲述线性空间内相关理论及研究方法的学科，对空间内的线性变换的研究应当成为整个学习内容的核心.接下来就从线性空间及线性变换的本质入手，对线性代数基本研究问题的内容进行阐释.

一、线性空间

作为数学中的重要概念之一，空间这一概念在数学的领域中应用十分广泛.最基础的就是拓扑空间，而线性空间则是在拓扑空间的基础上加入一些线性变换而形成的新的一些对象的集合.在线性空间中，任何一个对象都可以通过预先设定好的基和坐标的结合表示出来，这时这个对象就成为一个向量.在计算中向量通常是由n×1或1×n的矩阵表示出来，这一列或一行数中的每一个元素都代表了一定的内容，其顺序不可更改.

下面再来说线性变换，线性变化指的是空間中任意一点向另一点的移动都可以由一个线性变换表示出来.当线性空间内的基确定下来后，空间内的每一个向量既能表示其中一个对象，还能表示某一个向量变换的过程.线性变化的具体计算方法是用变化前表示对象的向量与表达这一变换过程的向量相乘.综上所述，在指定了空间的基之后，就可以计算出任意一点向另一点表达的过程，只要变化后的向量仍然属于该线性空间，该线性变换就可以用一个非奇异矩阵表示.

二、矩 阵

矩阵作为线性空间内表示一个线性变换的式子，其针对同一个变换过程的表示形式不固定，主要取决于基的选取，当在线性空间内确定好一组基后，就至多只有一个矩阵能够表达单一的线性变换.当基改变之后，表示这一线性变换的矩阵也相应变化.如果几个矩阵都能表示同一个线性变换，且矩阵互相都不同，那么我们就称这些矩阵互为相似矩阵.相似矩阵间有如下的性质：如果有两个互为相似矩阵的矩阵A和矩阵B，那么一定存在一个非奇异矩阵P，使A与B间满足A=P-1BP.这里的矩阵P其实就是矩阵A的基和矩阵B的基之间的线性变换关系.相似矩阵这一概念在线性代数中十分重要，是很多后续学习内容，如相似标准型、对角化等的知识基础.因为后续的这些研究过程中必须保证矩阵转换过程中仍然满足基于同一个线性变换，矩阵转换只是为了将它转换成为一个更方便计算的矩阵.

矩阵不仅可以用来描述点与点之间的线性变换，更深层次地矩阵可以用来描述一组基向另一组基的变换，且计算方法基本相同.

三、行列式

行列式作为线性代数开篇所要学习的内容，是线性代数乃至其他数学学科中的一个重要数学工具.主要应用于求解线性方程组、矩阵相关计算、矩阵正定性判定及系统稳定性等方面.开始学习用行列式定义计算行列式时感觉困难，可以采用将行列式元素转化为解析几何图形的形式对行列式进行求解，有利于学生对计算过程的理解.

在这里再谈一谈行列式与矩阵的联系.虽然行列式和矩阵在定义及计算方法上存在很大的差别.但二者在很多方面都有很密切的联系.如，某个方阵对应的行列式计算结果如果不为零，则该矩阵存在逆矩阵，即可逆;又如，一个n元线性方程组的系数行列式若存在且不为零，则该系数矩阵的秩与其增广矩阵的秩相等，且二者均等于n.这些事实表明，矩阵与行列式关系紧密绝非偶然，是因为矩阵的很多性质就是基于行列式的性质建立起来的.矩阵的提出主要是为了改变行列的很多固定的、不便计算的性质的，如行数必须等于列数等，但其根本性的一些性质还是与行列式存在重要联系的.

四、秩

对于矩阵的秩，很多学生在学习时认为其是单独在矩阵的变换层面展开的一个概念，因此，对秩的意义的理解存在困难.秩这一概念的提出是基于线性相关性这一概念的.在二维平面中，两个向量线性相关指的是两个向量共线;在三维平面中，向量线性相关则指的是所有向量共面，如果某一个向量无法用其他向量线性表示，则称这几个向量线性无关，所有无法进行线性表示的向量的集合就称为该向量组的极大无关组，该向量组的极大无关组的个数就称为这个向量组的秩，也就是向量组组成的矩阵的秩.通过这一系列的推导可以看出，线性相关性、极大无关组与矩阵的秩之间存在着重要联系，学生在学习过程中应该着重注意这一点.

五、结束语

目前的大学线性代数课堂中，很多教师过分追求计算方法和技巧的讲解，而忽视了对相关概念的具体分析，导致很多学生虽然习题计算能力较强，但没有对学科的内容本身有一个系统的认识，这显然是本末倒置的.线性代数学科的教学应该紧紧围绕线性空间和线性变换这一主线，对相关概念的解释也应由空间内的向量间的关系发起，这样才能使学生从根本上理解线性代数的数学意义和实际功能，有助于学生加深对线性代数的理解及对数学的热爱.

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