一类二元接龙函数极值问题的构造性解法及推广

张靖华

函数F（x，y）=c+bx+ax2+ax2+dxy+ey2+ey2+fy+g中的后一个根号内的第一项是前一个根号内的末项，从第二项起至倒数第二项止，根号内的第二项是该根号内两个变量积的倍数.把形如这样的函数称之为接龙函数.求这类接龙函数的极值问题，无论是采用常规的初等数学方法，还是采用高等数学的微分法都很难奏效，本文将借助余弦定理，采用数形结合的构造性方法，给出接龙函数F（x，y）=c+bx+ax2+ax2+dxy+ey2+ey2+fy+g在给定条件下的最值定理，并加以推广.

定理1 若a，c，e，g∈R+，且Δ1=4ca-b2≥0，Δ2=4ae-d2≥0，Δ3=4eg-f2≥0.则函数

F（x，y）=c+bx+ax2+ax2+dxy+ey2+ey2+fy+g.

当x=cg·sin（α+β+γ）ca·sinα+ag·sin（β+γ），y=cg·sin（α+β+γ）eg·sinγ+ce·sin（α+β） 时，

有最小值：

F（x，y）min=c+g-2cg·cos（α+β+γ）;

或当x=dfΔ1+bfΔ2+bdΔ3-Δ1Δ2Δ34aeΔ1-2afΔ2-2adΔ3，y=dfΔ1+bfΔ2+bdΔ3-Δ1Δ2Δ34aeΔ3-2beΔ2-2deΔ1 时，

F（x，y）min=AC

=c+g-14ae（bΔ2Δ3+dΔ1Δ3+fΔ1Δ2）-bdf，

其中cosα=-b2ca，cosβ=-d2ae，cosγ=-f2eg，α，β，γ，∈[0，π].

证明 F（x，y）的三项均为非负数，故f（x，y）存在最小值是显然的.

（1）当x≥0，y≥0时，

∵4ca-b2≥0，4ae-d2≥0，4eg-f2≥0，

∴-b2ca≤1，-d2ae≤1，-f2eg≤1.

令-b2ca=cosα，-d2ae=cos，β-f2eg=cosγ，

则F（x，y）=（c）2+（a·x）〗2-2c·a·x·-b2ac

+（a·x）2+（e·y）2-2a·xe·y·-d2ae

+（e·y）2+（g）2-2g·e·y·-f2eg

=（c）2+（a·x）2-2ca·x·cosα

+（a·x）2+（e·y）2-2ae·x·y·cosβ

+（e·y）2+（g）2-2eg·y·cosγ.

=f（x）+f（x，y）+f（y）.

以线段BC=c，曲线CD=f（x）;DE=f（x，y）;EA=f（y），线段AB=g为边，以线段BD=ax，BE=ey为对角线，构造如图所示的动态“五边形ABCDE”.于是在△ABC中，由余弦定理得：

F（x，y）=f（x）+f（x，y）+f（y）≥AC

=c+g-2cg·cos（α+β+γ）.

利用余弦三角函數和差公式展开并整理得：

F（x，y）min=AC

=c+g-14ae（bΔ2Δ3+dΔ1Δ3+fΔ1Δ2）-bdf.

由图知：仅当D，E在AC上时等号成立，设BE，BD分别交AC于E′，D′，

故S△CBD′+S△D′BA=S△ABC，S△ABE′+S△E′BC=S△ABC.

利用正弦三角函数面积公式，及相关的正弦三角函数和差公式并整理知：

当x=cg·sin（α+β+γ）ca·sinα+ag·sin（β+γ），y=cg·sin（α+β+γ）eg·sinγ+ce·sin（α+β） 时，

F（x，y）min=c+g-2cg·cos（α+β+γ）;

或当x=dfΔ1+bfΔ2+bdΔ3-Δ1Δ2Δ34aeΔ1-2afΔ2-2adΔ3，y=dfΔ1+bfΔ2+bdΔ3-Δ1Δ2Δ34aeΔ3-2beΔ2-2deΔ1 时，

F（x，y）min=AC

=c+g-14ae（bΔ2Δ3+dΔ1Δ3+fΔ1Δ2）-bdf.

（2）当x<0，y<0时，令x=-u，y=-v，F（x，y）=φ（-u，-v），仿（1）易证定理成立.

（3）当x≥0，y<0或x<0，y≥0时仿上做类似变换，易证定理仍然成立.

对上述定理稍加推广便得到如下定理

定理2 若ai∈R+，Δi=4aiai+1-b2i≥0，且x0=xn+1=1，则n元接龙函数

F（x1，x2，…xn）=∑ni=0aix2i+bixixi+1+ai+1x2i+1的最小值为

F（x1，x2，…，xn）min=a0+an+1-2a0an+1·cos∑ni=0αi，

其中i=0，1，2，3…n，cosαi=-bi2aiai+1，αi∈[0，π]证明从略.