微分中值定理和洛必达法则证明及应用浅析

对于微分学，我们在高中就开始接触到导数的知识点，微分学同时也是大学数学的重要内容。其中微分中值定理是微分学中的重要定理：罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理等。本文主要介绍这几个主要的微分中值定理和洛必达法则，并加以证明。

微分中值定理概述

微分中值定理充当了沟通函数与导数之间的联系纽带，可以用来计算，判定和证明等。在应用过程中比较灵活。但是微分中值定理同时存在理论性较强，内容抽象等特点，所以在学习过程中会难于理解和应用。微分中值定理，是研究函数的有力工具，包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理。

关于微分中值定理的证明

费马引理

在证明微分中值定理前，我们首先引进费马引理，对于费马定理通过证明函数的每一个极值都是驻点（函数的导数在该点为零），该定理给出了一个求出可微函数的最大值和最小值的方法。

定义：函数f（x）在点ξ的某邻域U（ξ）内有定义，并且在ξ处可导，如果对于任意的x∈U（ξ），都有f（x）<=f（ξ）（或f（x）>=f（x）），那么f（ξ）=0。

证明：设f（x）在ξ处最大，故不论Δx是正数还是负数，我们总会得到：

罗尔定理

定义：如果R上的函数f（x） 满足以下条件：1）在闭区间[a，b]上连续，2）在开区间（a，b）内可导，3）f（a）=f（b），则至少存在一个ξ∈（a，b），使得f（ξ）=0。

证明：因为函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）上可导，且f（a）=f（b）。所以存在最大值与最小值，不妨设为M与m，分两种情况讨论：

拉格朗日中值定理

拉格朗日的几何意义在于：若连续曲线y=f（x）在A（a，f（a）），B（b，f（b））两点间的每一点处都有不垂直于x轴的切线，则曲线在A，B间至少存在1点P（c，f（c）），使得该曲线在P点的切线与割线AB平行。

定义：设函数f（x）满足条件：（1）在闭区间[a，b]上连续；（2）在开区间（a，b）可导；则至少存在一点ε∈（a，b），使得f（b）- f（a）=f（ε）（b-a）

证明：已知f（x）在[a，b]上连续，在开区间（a，b）内可导，我们可以构造辅助函数：

證明洛必达法则

求极限是高等数学中最重要的内容之一，也是高等数学的基础部分，因此熟练掌握求极限的方法对学好高等数学具洛必达法则有重要的意义。洛必达法则主要是利用导数来计算具有不定项式的极限。

结论

微分中值定理主要包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理，这三个定理相互联系。罗尔定理是朗格朗日中值定理和柯西中值定理的基础，而拉格朗日中值定理和柯西中值定理是罗尔定理的延伸，另外三者在几何意义上也相互联系。三个定理作为沟通函数和导数的桥梁，在数学应用中非常重要。

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析（上册）[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2]陈传章，金福临，朱学炎，等.数学分析[M].北京：高等教育出版社，1995.

[3]王振林.浅谈微分中值定理的应用[J].科技创新与生产力，2001（4）：43-44.

[4]党艳霞.浅谈微分中值定理及其应用[J].廊坊师范学院学报（自然科学版），2010，10（1）：28-31.

（作者简介：龚睿，杭州市学军中学。）endprint