数理几何思维在电磁场题目求解中的应用探讨

电磁场问题包括带电粒子在磁场中的运动以及电磁感应定律应用等，在高考中一般都较为热门。其中带电粒子在电磁场中的运动分值又比较高。该类题型除去物理知识外，数理几何的思想也相当重要，可以说数理几何的运用在磁场中带电粒子运动的过程里扮演着更为重要的作用。

电磁场的题目是高中物理中的重点也是一大难点，特别是在复杂的带电粒子运动的题目中，數理几何思维对于题目的求解就显得极其重要。在求解题目中的物理问题、物理边界时，更多的要依靠所给题目中的几何边界才能解出，所以说数理几何思维在高考解题中不可或缺。相比而言，在教科书中很少对带电粒子在电磁场中的运动进行详细的论证、归类，从教科书中无法看出数理几何对于解题的重要性。

求解电磁场问题时一定要注意技巧，根据力的独立性原理，电场力与磁场的洛伦兹力的作用效果不同，洛伦兹力对电荷不做功，而电场力对电荷做功，力的作用效果的独立性是我们解决电磁场问题的理论依据之一。带电粒子在电磁场中既可能做复杂的曲线运动，也有可能做比较简单的直线运动，常见题型中，根据电磁场的位形可以大致分为两场分离、两场重叠；按粒子入场速度又可以分为初速度为零与不为零，不为零时还包含了与电场方向相互平行射入和相互垂直射入。高考真题中也不外乎是这些类型的组合而已。本文将对上述类型例题进行分析，并对圆形磁场中带电粒子运动的物理规律进行总结。

数理几何概述

数理几何是指在物体运动的物理规律和轨迹曲线中引入数学几何的方法，在电磁场类物理题中特别常见，先运用数理几何思维结合电磁场边界，找出带电粒子运动轨迹的半径、圆心等的相关关系，再和该题目中的物理条件相结合，做出带电粒子的轨迹，而带电粒子在电磁场中的运动问题，一旦解决了运动轨迹，其他问题也就都迎刃而解了。另外，数理几何思维除了在电磁场中有重要运用，其实在高中物理的其他板块中也有重要运用，比如平抛运动中的速度夹角与位移夹角的关系等等，这里不再一一赘述了，当然数理几何思维在电磁场题目中化繁为简的作用运用的更为广泛。

数理几何在电磁场中的应用

了解了带电粒子在电磁场中运动的重要性以及数理几何思维对于运动轨迹的求解优势之后，我们来探究数理几何思维在高考真题中的运用情况。

电场与磁场分离

2）粒子在磁场中运动的轨道半径r。

3）粒子从M点运动到P点的总时间t。

分析：对该粒子的整个运动状态进行分析知，粒子在MN段只受到电场力作用做类平抛运动，在知道速度偏角的情况下，可以轻松求出粒子出电场的末速度，结合动能定理，UMN即可得出。在磁场中，由洛伦兹力提供向心力便可计算出粒子运动的轨道半径。要求M点到P点的总时间，分为电场与磁场两部分，电场中的类平抛运动的时间与磁场中运动的半径之间存在几何关系，而在磁场中，运动时间直接受到运动轨迹转过的圆心角的度数影响，这些都是数理几何思维在体中的体现，做出粒子大致的运动轨迹如图2。

结语：这类题很多，此处不一一列举，很容易看出，在电磁场分离的题中，速度总是与磁场垂直进入，洛伦兹力提供匀速圆周运动所需的向心力，在电场中做匀变速运动，在结合数理几何思维的情况下，解题思路清晰。

电场与磁场重合

当电场与磁场重合时，带电粒子的运动轨迹较为复杂，高中物理中一般涉及的都是比较特殊的情景，便于求解，本文将分为两类来探讨其中的数理几何思维。

1）电场与磁场平行。

可以看出，数理几何思维将原本复杂的运动轨迹简单化，化繁为简，更利于我们去理解复杂物理现象中的基本物理规律。

2）电场与磁场垂直。

例2（2008江苏）在场强为B的水平匀强磁场中，一质量为m、带正点q的小球在O点静止释放，小球的运动曲线如图4所示，已知此曲线在最低点的曲率半径为该点到x轴距离的2倍，求：

（1）小球运动到任意位置P（x，y）的速率v。

分析：第（1）（2）问都较为简单，不涉及电场，但由于额外增加了重力场，带电小球做摆线运动，由数理几何关系便知，在磁场中主要由洛伦兹力提供向心力，下降过程中，重力做正功，使小球速度增加，从而使得小球做圆周运动的半径增加，所以做了摆线运动，而增加电场后，又可以将电场力与重力的合力等效为原来的重力，不过方向相反了。

解：（1）由洛伦兹力不做功，则从O→P点由动能定理得：

即在轨迹的最低点处，由洛伦兹力与重力的合力提供向心力，则有：

结语：对于电场与磁场重叠的题目而言，数理几何思维都是求解的前提，是整个题目的出发点，有了确定的数理几何关系，才能继续求解电磁场问题，所以数理几何思维是相当的重要。

圆形磁场中的数理几何规律

如图5，有一边界为圆形的垂直纸面向里的磁场，带电粒子沿着磁场的半径方向射入，在圆形磁场中做圆周运动一段时间后，射出。

根据数理几何关系可以证明，离开磁场时射出圆形磁场区域的速度的反向延长线通过磁场边界的圆心。另外，如果一束不同速率的带电粒子，沿着半径方向射入该边界内，对于射出的粒子还有带电粒子的速率越大，轨迹半径越大，在磁场中运动的时间越短，速度偏向角即为磁场中圆周运动的圆弧所对应的圆心角。

结论

不难看出，数理几何思维对于电磁场问题的求解相当的有帮助，不仅可以作为解题的出发点，还可以用来总结出带电粒子在电磁场中运动的一般规律，我们在平常的解题中也要积累数理几何方面的知识，这样做题能够事半功倍。

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（作者简介：裴心睿，成都市郫都区第一中学。）endprint