概率伪形态学的自适应参数设置研究

黄嘉艳+蒋金山

摘要：概率伪形态学是一种新的形态学处理方法，与传统形态学的基本运算不同，它无需对原数据进行排列而求得极值，而是基于切比雪夫不等式估计邻域内数据的两个伪极值来定义腐蚀和膨胀结果，其中参数k可用来调节伪极值与实际极值的逼近程度，并使概率伪形态学方法兼具线性和非线性特性。通过对图像直方图进行规定化处理自适应地确定参数k，减小了直接在原直方图上估计参数造成的误差。与传统形态学方法对比，概率伪形态学方法的腐蚀膨胀结果较好地保持图像的形状和细节结构，同时在边缘提取中得到的结果较理想。

关键词：概率伪形态学；参数选取；自适应；腐蚀；膨胀

中图分类号：TP317.4 文献标识码：A 文章编号：1007-9416（2017）11-0075-06

1 引言

数学形态学（Mathematical Morphology，MM）是几何描述分析和非线性图像处理的有力工具，这一理论框架是上世纪80年代由Matheron[1]和Serra[2]等人提出的。MM最初在二值图像上得到广泛应用，后来将其推广到灰度图像上，并根据定义的序关系比较邻域内数据的大小，来定义形态学膨胀、腐蚀运算[3]。由于二值图像和灰度图像都是标量函数，在标量域中数据之间存在自然的序关系，因此，二值形态学和灰度形态学本质上无区别[4]。而将MM拓展到彩色图像上就不那么直接，首先需要定义彩色图像像素之间的全序关系。文献[5]定义了4种矢量序来对多元数据进行排序：边缘序（M-Ordering）、约简序（R-Ordering）、偏序（P-Ordering）、条件序（C-Ordering）。基于边缘序、条件序、约简序的形态学方法在彩色图像中得到普遍的应用[6]。然而，由于目前对向量的排序并没有统一标准，上面定义的四种矢量序关系在不同应用中存在各自缺点和不足，具有一定的局限性。传统数学形态学方法（Gray-Level Mathematical Morphology， GLMM）就是基于序关系对图像进行处理的。

概率伪形态学方法（Probabilistic Pseudo-Morphology，PPM）[7]是在伪形态学[8， 9]的基础上提出来的，不同于传统数学形态学需要考虑数据序关系定义问题，PPM基于切比雪夫不等式估计邻域内的两個“伪极值”，来定义形态学的基本运算，并从灰度图像推广到彩色图像（这里的彩色图像为RGB图像）。在彩色图像处理过程中结合主成分析法（Principal Component Analysis， PCA），在第一主成分数据上结合切比雪夫不等式估计局部变量的伪极值，重新定义了形态学的基本运算：伪腐蚀、伪膨胀。与传统形态学定义边缘序方法对比，边缘序方法将R、G、B各分量分开处理来进行运算，容易引入“假色”，PCA的应用能有效的缓解了此问题。本文首先阐述概率伪形态学方法定义的基本运算，再在灰度图像上讨论参数k的选取，并说明在参数k下的伪极值很好的逼近真实极值，然后对参数k的作用意义进行分类。最后，通过误差分析验证，在选取的k值下概率伪形态学方法得到的基本运算结果与传统灰度形态学的结果数值上相似，但视图结果显示，概率伪形态学方法抗造性强，能更好的保持了图像的细节结构和形状，另外，运用两种方法进行边缘提取，概率伪形态学方法能得到边缘更加清晰，轮廓线条更加平滑。

2 概率伪形态学

概率伪形态学方法是以切比雪夫不等式为理论基础，该不等式表示任意随机变量分布在某个以均值为中心点的特定区间以外的最大概率，适用于任意分布，要求该分布满足均值和方差是有限的[10]。现令为任意随机变量，分别是表示其均值和标准差（都为正数），则切比雪夫不等式表示如下：

3.2.2 误差分析及验证参数k的有效性

利用误差进行定性分析，计算二者：不同参数k下的概率伪形态学方法PPM、传统形灰度态学方法GLMM在相同结构元素下的膨胀腐蚀结果之间的二次误差，根据公式：

其中n图像像素点的个数，xi、yi分别是PPM、GLMM的运算结果。通过对比在不同参数下二者的误差，来验证存在参数k使二者误差最小，进一步比较得到经过高斯规定化图像直方图上得到的参数下的误差更小。即概率伪形态学在此参数下的运算结果更好的逼近传统数学形态学得到的真实运算结果。

由于概率伪形态学方法通过借助切比雪夫不等式估计传统灰度形态学得到的运算结果，通过比较由规定化直方图估计得到的参数以及在原直方图上估计的参数各自的误差大小，来说明前者得到参数使结果更优。图4为其中3幅图像在不同参数k下的误差情况。使用5*5、11*11方形结构元素对图像进行膨胀、腐蚀运算。左边为二次误差，右边为对应的总误差，由图可见，每幅图像都存在某一k*使得概率伪形态学的运算结果与传统数学形态学的误差最小，为了进一步说明在高斯函数规定化直方图上设置的参数比在原直方图上进行估计得到的参数使运算结果误差更小，即基于高斯函数规定化直方图参数设置方法更优，通过比较各自参数下的膨胀、腐蚀误差结果及总误差，具体数据见表2，其中参数设置列中“规：”表示在经过高斯函数规定化直方图图像上进行的参数设置；“原：”表示在原图像直方图上进行参数设置。通过比较各项运算结果不难发现，前者误差不同程度小于后者且总误差也较小，3幅图像在高斯函数规定化直方图得到的k=2、1.73、2.11，对比在原直方图上估计的参数k=2.64、1.97、3.07的结果误差更小，由此证明高斯函数规定化设置参数这种方法的有效性。

4 对比实验结果分析

图5（a）、（c）分别是两种方法设置的参数下的概率伪形态学（PPM）腐蚀和膨胀结果视图，与传统灰度形态学（GLMM）对应的结果视图（b）进行对比，发现：①PPM腐蚀膨胀视图结果比GLMM腐蚀膨胀视图结果轮廓更加清晰，图像的对比度改进明显；②在对比高斯函数规定化直方图参数和原直方图参数得到的腐蚀膨胀结果，发现前者比后者的视图轮廓线更加平滑，后者得到图像的轮廓线较粗，使得腐蚀膨胀后的图像细节结构难以辨析，但前者更好地保持了图像的细节和结构，轮廓线更分明，视图效果更好。endprint

图6、图7是在高斯函数规定化直方图上得到的参数k的概率伪形态学和传统灰度形态学的腐蚀膨胀结果作对比，使用5*5方形平面结构元素11*11方形平面结构元素进行操作，其由局部细节图可明显看出它们之间差异。GLMM受图像的纹理复杂性和结构元素尺寸的影响较大，使图像遗失了某些特征，而PPM更好的保留了图像的纹理结构，且结果更加平滑柔和。如图6（b）右局部放大图中树杈和小船船体形状受方形结构元素影响明显，图7（b）人像五官呈现方块状，而PPM伪腐蚀结果受结构元素形状影响小，如图6（a）、（c）、（e）和（g），其结果比较平滑；另外，PPM的结果比GLMM更好的保持了图像的细节，如图6（e）、（g），较大程度地保留了树的轮廓、树干粗细形状，图7（a）、（c）人像眉毛、眼睛鼻梁等细节形状得到保持。这是由于PPM的伪腐蚀伪膨胀运算涉及局部的邻域数据分布（均值和标准差），从动态统计角度看，该方法抗噪性较强。对比传统方法，PPM对局部噪声不敏感，使它更好的保持图像的局部结构。

将概率伪形态学在参数k*下边缘提取结果与传统形态学比较，在相同形状、尺寸的结构元素下，定义形态学梯度算子如下：

其中dil_img表示图像的膨胀；ero_img表示图像的腐蚀。图8是在3*3方形结构元素作用下概率伪形态学和传统形态学边缘提取结果，由图8可以看出，在确定的参数k*下概率伪形态学方法得到的边缘更加清晰，与背景对比度较高，更加平滑。总体上讲，概率伪形态学能获得较理想的边缘结果。

5 结语

本文主要对概率伪形态学方法中参数k的自适应设置进行探讨，通过高斯函数规定化直方图后再进行参数设置，对比在原图像进行参数估计，前者得到的参数能使概率伪形态学的基本运算结果和传统形态学方法的基本运算结果误差更小，从视图效果来看，参数k下的概率伪形态学比传统数学形态学抗噪性强，能更好地保持图像的细节结构和形状。对彩色图像进行PPM的伪腐蚀、伪膨胀运算是在RGB空间上进行，由于该空间上的三个轴表示三基色的数量级，具有相关性，在这种颜色空间上更适用PCA；也可在其他如HSV、CIELAB[15]等颜色空间上尝试执行该方法。另外由于概率伪形态学方法应用PCA在处理彩色图像，图像数据通过在不相关的特征方向上进行投影得到新数据空间，考虑将该方法应用到图像去噪中，对去除高斯非相关性噪声有显著效果，后续会沿这个方向作进一步探究。

参考文献

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Abstract：Probabilistic pseudo-morphology is a new morphological method differing from the traditional in the basic operational process：dilation and erosion. It does not need to rank the original data then obtain the extremes， instead， it estimates two pseudo-extremes of neighborhood data based on Chebyshev inequality to determine the operations. The parameter k can be used to adjust the approximation degree of the pseudo-extreme value and the actual extreme value， and makes the probabilistic pseudo-morphological method have both linear and nonlinear characteristics. By regularizing the image histogram can adaptively determine the parameter k， then reducing the error caused by estimating directly on the original histogram. Compared with the traditional morphological methods， the results of probabilistic pseudo-morphological erosion and dilation can keep better shape and structure of the details of the image， and the results in the edge extraction is also better.

Key Words：probabilistic pseudo-morphology； parameter setting； adaptivity； erosion； dilationendprint