明确内角概念，完善探究过程

吴青

摘 要：数学课堂教学，应该要从学生已有的知识基础出发，将数学知识与生活实际紧密结合起来，让学生经历数学探究的完整过程，初步理解数学证明的过程，体会数学的严密性与逻辑性，不断培养学生探究数学奥秘的能力。

关键词：内角和；应用价值；推理证明

三角形的内角和是苏教版四年级下册安排的教学内容，旨在让学生通过观察、猜想、操作、归纳等探究活动，发现三角形的内角和是180°这个重要性质，这是学生认识和理解三角形角的特征的重要方面，也是以后进一步学习和探索三角形其他知识的必备基础。

“三角形的内角和是180°”这个性质，许多孩子在课前已经都知道了，而且也能够根据三角形的内角和来计算某个未知角的度数。那么，在这样的情况下，这节课的教学该如何展开呢？怎样才能既考虑到孩子已有的知识基础和生活经验，又能够让他们深入理解知识，更好的发展思维能力，真正发挥这节课应有的价值呢？

一、追根溯源，凸显数学知识的应用价值

我们知道，数学知识来源于生活，又运用于生活，解决生活中的实际问题。每一个数学知识，都可以在生活中找到它的应用价值，比如学会了三角形面积的计算，就可以去计算三角形田地或者三角形钢板的面积；学会了三角形的三边关系，就可以选择三根小棒或者三根绳子来围成一个三角形。

所以我们在教学一个新知识的时候，要有意识地呈现新知识在生活中的实际应用，让孩子认识到所学的知识与生活紧密相连，从生活中来，又回到生活中去，并能够运用新知识灵活解决生活中的实际问题，达到学以致用的目的。

那么，生活中哪些地方需要用到三角形内角和的知识呢？知道了三角形的内角和是180°，可以解决生活中的哪些实际问题呢？

教材中给出的练习题，基本上都是根据三角形中两个角的度数来求第三个角，网上搜索到的也都是这种类型的题目，这种题目显然是人为编造的，脱离了生活实际。我们也经常会见到这样的题目：“有一块三角形的玻璃，被小明不小心摔坏了一个角，剩下来的两个角分别是60°和70°，你能知道摔坏的那个角是多少度吗？”说实话，三角形的玻璃被摔坏之后，有必要知道摔坏的那个角的大小吗？这种题目人为编造的痕迹太重，没有现实意义。

其实，人们在进行远距离测量计算的时候，就需要用到三角形内角和的知识。比如，根据远处高山的仰角来计算它的高度、利用三角测量法来测算地面距离、用三角视差法来测量恒星的距离等等，这些都离不开三角形内角和的知识。此外，当我们想要知道某个角的大小，却又无法直接测量的时候，也可以根据三角形内角和的知识，来间接得到。

由此看来，三角形内角和的知识在生产生活中确实大有用武之地。在这节课上，我们就需要让孩子认识到三角形内角和在生活中的实际应用，感受数学知识与实际生活之间的密切联系，拉近孩子与数学知识之间的心理距离，更好地激发孩子探究数学知识的兴趣。

在这节课的导入环节，我创设了参观三角形王国的故事情境。在三角形王国里有一座高耸入云的智慧山，山的旁边修了两条小路。大家都很想知道这两条路是否相互垂直，可是这两条小路延长之后都钻到山里面去了，测量不到这个角度，怎样才能知道这个角是不是直角呢？于是有孩子想到，可以在旁边再修一条路，和刚才的两条小路都相交，这时就出现了一个三角形，不过有一个角是藏在山里面的，还有两个角在外面。我们可以先测量出外面两个角的度数，然后用180°减去这两个角的度数，就可以得到藏在山里面的那个角的度数，这样就能够判断原来的两条小路是否垂直了。

此时，我紧接着进行追问：为什么要用180°去减？这里的180°是什么？由此引出三角形的内角和。

在这个导入部分，要想知道小路是否垂直，可以根据夹角的度数来判断，但是又无法直接测量这个角，这时通过构造一个三角形，利用三角形内角和的知识来计算出小路夹角的度数，从而顺利地解决问题。考虑到许多孩子对三角形的内角和都有了一定的认识，知道三角形的内角和是180°，所以我就在导入环节创设这样的问题情境，让学生体会到三角形内角和在生活中的应用价值，认识到研究三角形的内角和是有必要的，从而更加积极主动地投入接下来的探究之中。

作为呼应，在新课结束的时候，我再让孩子们分析导入情境的这个问题，确认解决方法是否正确，进一步强化巩固三角形内角和在生活中的应用。随后向学生简要介绍根据远处高山的仰角来计算它的高度、利用三角测量法来测算地面距离、用三角视差法来测量恒星的距离，拓宽孩子的知识面，帮助孩子更好地认识到数学知识在生活中的广泛应用，从而拉近孩子与数學知识之间的心理距离。

二、深入分析，厘清数学概念的本质属性

在课堂导入环节，当构造出一个三角形，并且测量出露在外面的两个角的度数之后，几乎所有的孩子都举手，能够说出是用180°减去这两个角的度数，就能得到两条小路夹角的度数。这表明，他们几乎都已经知道三角形的内角和是180°，而这正是本课所要探究的内容。

那么，接下来的这节课该怎么教学呢？是完全不考虑学生已有的知识基础，按照教材安排的流程，从头开始来探究三角形的内角和吗？还是认可学生已经掌握的知识，接下来便把重点放在运用三角形内角和的知识来解决问题？

其实，这两种做法都不可取。当教学中遇到这种情况时，我们首先必须了解清楚，孩子们是不是真的懂了，他们有没有真正理解并掌握三角形内角和的本质特征，或者只是知道三角形的内角和是180°这个知识点，浮于知识的表面理解和直接运用，而没有深入领会其内在的属性。

因此，当孩子都知道三角形的内角和是180°时，我安排了一个环节，让他们分析三角形分与合过程中内角和的变化情况，并说出理由。一个大三角形的内角和是180°，分成两个小三角形之后，每个小三角形的内角和各是多少度？为什么还是180°，而不是它的一半，即90°？多出来的角在哪儿？把两个小三角形拼成一个大三角形之后，大三角形的内角和是多少度？为什么不是360°，而是180°，少掉的角在哪儿？

这两个问题的核心，直指三角形内角和性质中最重要、最关键的概念——内角，正是由于在三角形分与合的过程中，内角发生了变化，增加了或者减少了，所以不管三角形怎么变化，内角和始终保持180°不变。

通过对这两个问题的回答，可以看出孩子有没有真正理解三角形内角和的本质属性。尽管许多学生都知道现在三角形的内角和还是180°，内角和不变，但是却无法说出其中的缘由，这说明他们对内角的概念还是模糊不清的，只是浮于表面，没有真正理解。

因为没有真正理解内角的含义，所以对三角形内角和的认识就会片面、肤浅，在接下来对四边形、五边形等多边形内角和的操作探究中，会遇到许多困难。比如在探究四边形的内角和时，有孩子进行如下划分（如图1），而得出四边形内角和为180°的3倍，这种错误就是因为他们对“内角”这个概念没有认识清楚。

基于上面的分析，我觉得本课的教学是非常有必要的，而且首先必须帮助孩子厘清内角概念，这样才能更加深刻地理解三角形的内角和。在课堂上，通过对具体三角形内角的分析，帮助孩子认识到内角的特征，进而概括出内角的内涵，即“三角形相邻两条边所组成的角”，从而为接下来进一步研究三角形的内角和打好基础。

在课堂的结束部分，我再一次让孩子分析三角形分与合的过程。由于已经明确了内角的概念，这时他们就能很准确地指出，在分与合的过程中，内角发生了怎样的变化，哪些内角消失了，又新增加了哪些内角，这表明孩子们对内角的含义已经真正理解掌握了。在这样的基础上，接下来再探究多边形的内角和，就不会再出现上面的那种错误情况了。

所以，当发现孩子已经知道了课堂上将要探究学习的新知识的时候，我们不能被他们外在的表现所迷惑，而要能够抓住新知识的关键概念进行分析，来判断孩子们到底有没有真正理解掌握，还是只停留于知识的表面，没有深入理解。在此基础上再有的放矢地进行教学，这样的教学才更有针对性，才能更好地利用学生已有的知识经验，将学生对知识的理解由表层逐步向着纵深发展。

三、循序渐进，经历数学探究的科学历程

1. 转变研究思路

在厘清了内角的概念之后，接下来就是课堂探究环节。教材中安排的探究过程，是先计算两把三角尺上三个内角的和，然后去测量其他三角形3个内角的度数并相加，在发现规律之后让学生思考，能不能想办法把每个三角形的3个内角拼在一起，教材中随后给出了两种拼的方法，一种是把3个角撕（剪）下来拼在一起（即“剪拼”），另一种是把3个角折到一起拼成一个平角（即“折拼”）。

由于学生已经知道了三角形的内角和是180°，所以我们就没有必要再像教材中那样按部就班地进行探究，而是把探究的自主权交还给学生，让他们来掌控探究活动。于是在明确了内角概念之后，我问孩子，“你们刚才都知道了三角形的内角和是180°，你们能不能想办法来验证一下？”就这样，我就巧妙地把“探究发现规律”变为“验证确认规律”。虽然接下来的操作活动是验证而不是探究，但是所采用的方法其实和探究规律时的方法是相同的，所以验证的过程其实也就是探究的过程。只不过，在探究规律时，我们事先并不知道会有怎样的规律，所以探究的过程可能会有些盲目，带有一些不确定性；而在验证时，由于规律已经知道了，所以目的性和方向性非常明确。

2. 完善研究方法

许多老师认为，教材中给出的三种方法是并列的，没有优劣之分，没有先后之分，所以应该让学生在自主探究的过程中全都能够独立想到，然后进行汇报交流。但事实上，这三种方法显然是有区别的，对所有人（不仅仅是孩子）来说，要想知道某个三角形的内角和是多少度，首先想到的方法肯定是测量出三个内角的度数然后相加，而不会先想到要把这三个角拼在一起。此外，测量的方法误差比较大，而剪拼和折拼的误差相对比较小，尤其是折拼的方法，过程简洁明了。所以这三种方法显然不是同一个层次的。

因此当孩子们在进行验证时，他们无一例外都采用了测量的方法。在汇报交流时，我发现有几个孩子计算得到的三角形内角和不是180°，于是就抓住这个契机和大家一起分析可能存在的原因。在明确是由于存在“误差”而导致得到的内角和不是180°时，我顺势进行引导：“同学们，数学追求的是严格准确，而不能含糊。测量的过程中存在着误差，不够准确，那么有没有更好的办法，能够尽可能减小误差，从而说明三角形的内角和确实等于180°呢？如果不测量三个角的度数，想要知道三个角的总和，我们可以想办法把这三个角拼在一起吗？”在启发下再进行思考讨论，最终发现了剪拼和折拼的方法。

教材中介绍的探究方法就这三种，但是我们的研究却不能就此止步。在拼的过程中，学生会发现，由于需要把三角形剪下来然后才能拼，所以拼的方法还是存在误差，而有些三角形（比如画在黑板上的三角形）是无法剪下来的，那么怎样才能進一步消除误差，从而准确得到三角形的内角和呢？

于是我向孩子们介绍了用铅笔旋转的方法。（如图2所示）一支铅笔，开始时笔尖朝左，当铅笔依次转过三个角之后，笔尖朝右，正好旋转了180°，这就说明这个三角形三个内角的度数之和是180°。这种旋转的方法有别于其他形式的数学探究方法，也许会让人感觉没有数学味儿，怀疑这种探究方式是否严密，但是这种独特的动态直观操作的探究方式让人耳目一新，拓宽了孩子的视野，丰富了数学感知，也极大地调动了孩子的学习积极性和探究欲望，所以在课堂上孩子们都感觉非常惊讶，兴趣盎然。

上面的这几种探究方法，误差逐渐减小，方法也越来越简便，由一开始的需要量、需要剪，而逐渐变为既不需要量也不需要剪。这个过程，正体现了人们在进行数学研究过程中所经历的一般过程，逐步减小误差，逐渐优化方法，按照这样的顺序进行课堂探究，就是要让孩子体会到数学探究的一般历程，从而为以后独立研究其他数学问题打下基础。

3. 尝试推理证明

小学阶段的许多数学探究活动，都是先通过对几个具体对象的研究分析，概括出一个规律，然后再列举几个具体的对象进行验证，接下来就运用这个规律去解决实际问题。这种“列举—观察—归纳—猜想—验证—结论”的探究方法，其实就是不完全归纳法，严格意义上来说，这时候得到的规律只能说是一种猜想，还需要经过数学的严格证明，然后才能运用。但是由于小学生所掌握的数学知识和方法有限，所以我们一般都不进行严格的证明。

对于三角形的内角和来说，我们也是在对几个三角形进行操作之后，通过不完全归纳法得出三角形内角和是180°这个规律。

三角形内角和定理是欧几里得第五公设（平行公设）的推论，法国著名的大数学家帕斯卡在12岁的时候，就能够独立证明三角形内角和定理了。那么，我们是否也可以让孩子理解这种推理证明的方法呢？

对此，有些老师认为证明方法太难，不适合小学生；也有老师认为，本课的重点在于通过探究得出三角形内角和的性质，然后运用知识解决实际问题，没有必要进行推理证明。然而事实上，小学阶段三角形内角和性质的运用，无非是根据三角形中两个角的度数来求第三个角，思维水平不高，没有必要过多练习。而且，严格证明的过程仅仅涉及长方形与直角三角形，四年级的孩子完全能够理解接受。

在这种情况下，我觉得，应该把“让学生经历数学探究的完整过程，知道科学探究的一般方法”作为本课的重点之一，在探究操作之后，向学生介绍严格证明的方法，从而拓宽孩子的思维空间，丰富数学感知，完善数学知识体系，感受数学的严密性与逻辑性，给孩子更加严格的数学素养熏陶。

我们可以采用帕斯卡的方法进行证明，帕斯卡是这样证明的：长方形的四个角都是直角，四个角的和是360°；把长方形沿对角线一分为二，就变成两个直角三角形，每个直角三角形的内角和就是360÷2=180°；任意一个直角三角形都可以看作是长方形剪开得到的，所以任意直角三角形的内角和都是180°；任何一个锐角三角形都可以沿高分为两个直角三角形，两个直角三角形的内角总和为180+180=360°，而其中有两个直角拼在一起成了一条直线，所以锐角三角形三个内角的和是360-90×2=180°；同样的道理可以说明钝角三角形的内角和也是180°。

帕斯卡的这个证明过程中利用到了内角的变化，所以内角的概念是非常关键的。为了让孩子更容易理解，我把帕斯卡的证明方法进行了修改简化。

首先研究直角三角形，由于两个完全相同的直角三角形可以拼成一个长方形（如图3），长方形的每个角都是直角，所以直角三角形中两个锐角相加的和（∠1+∠2）就是一个直角，即90°，再加上原有的一个直角，就得到直角三角形的内角和，即90+90=180°。

接下来研究非直角三角形（如图3），它的内角和是∠1+∠2+∠3，我们作出一条高，把∠3分成∠4和∠5这两个小一些的角。作出的这条高就把原来的三角形分成两个小的直角三角形，根据刚才分析得出的结论，直角三角形中两个锐角的和等于90°，因此有∠1+∠4=90°，∠2+∠5=90°，把这两个式子合并起来得到∠1+∠2+∠4+∠5=180°，再根据∠4+∠5就是∠3，因此可以得到∠1+∠2+∠3=180°，也就是说三角形的内角和是180°。

《数学课程标准》指出，“数学课程不仅要考虑教学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有知识经验基础之上。”苏霍姆林斯基也曾说过，“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是一个发现者、研究者和探索者。在儿童的精神世界里这种需要特别强烈。”

因此，在课堂教学时，我们应该从学生已有的知识基础出发，合理剖析学生所掌握的知識水平，将数学知识与生活实际紧密结合起来，让学生经历数学探究的完整过程，体会数学的严密性与逻辑性，不断掌握科学探究的方法，领略成功的喜悦，从而激发学生对数学的兴趣，培养学生更加积极主动地投入以后的数学探究活动之中。