求逆矩阵的一般方法与补充

黄翔 汪春华

【摘 要】逆矩阵是线性代数课程的核心内容之一，本文介绍了几种求矩阵的逆矩阵方法，并做了比较和应用，能够帮助学习者更加全面的认识逆矩阵这一重要概念。

【关键词】矩阵；逆矩阵；分块矩阵；初等变换

中图分类号： O151.2 文献标识码： A 文章编号： 2095-2457（2018）27-0110-002

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2018.27.049

【Abstract】Inverse matrix is one of the core contents of linear algebra course.This paper introduces several methods to find inverse matrix of matrix，and makes comparison and application.This paper can help learners comprehensively understand the important concept of inverse matrix more.

【Key words】Matrix；Inverse matrix；Partitioned matrix；Elementary transformation

在大學教育许多专业学习中，线性代数课程是其专业必修基础课之一。通过本门课程的学习可以使学生系统掌握矩阵及线性方程组理论，了解n维向量空间，熟悉二次型理论，并能解决一些实际问题，培养学生独特的代数思维模式及逻辑推理能力。逆矩阵知识在线性代数课程中地位十分重要，与其它知识点联系紧密，它几乎贯穿线性代数课程学习的始终。下面主要介绍求逆矩阵的一般方法，并给出逆矩阵求法的补充。

1 利用定义法

对于n阶矩阵A，如果存在一个n阶矩阵B，使得AB=BA=E，则称矩阵A为可逆矩阵，而矩阵B称为A的逆矩阵[1]。

例1已知A3=0，求证A-E可逆。

即A-E可逆，且（A-E）-1=-（A2+A+E2）。本题可以推广成已知An=0，求证A±E或者E±A的可逆。

2 利用待定系数法

假设n阶矩阵B存在，且B是一个含未知参数的矩阵，根据矩阵的定义，利用矩阵乘法法则与矩阵相等的条件，用方程组解出参数，从而得出矩阵B。此方法计算较复杂，不再赘述。

3 利用伴随矩阵法

4 分块矩阵法

将大矩阵A分成若干个小矩阵，虽然把矩阵A与B中的子块当成数量一样对待，但是分块矩阵的乘法运算AB，A的列的划分必须与B的行的划分一致。因此分块矩阵求逆矩阵适合高阶矩阵求逆矩阵。

如果A、B、可逆，有一般式[2]

这个公式复杂，记忆难度大，可以记住它的以下几种特殊情形

以上分块矩阵求逆公式在求逆计算时可以直接使用，简化计算过程。

5 初等变换法

定理2[1]n阶矩阵A可逆的充要条件是A可以表示为若干初等矩阵的乘积。如果A可逆，则A-1也可逆。即存在初等矩阵G1，G2，…，Gk，使得A-1=G1G2…Gk，A-1A=G1G2…GkA，即E=G1G2…GkA……（1）

（1）式表示对A施以若干次初等行变换可化为E；（2）式表示对E施以相同的若干次初等行变换可化为A-1。

定理3若用一系列初等行、列变换将可逆矩阵A化成单位矩阵E，则必存在可逆矩阵Q和矩P，使得A-1=QP。其中，矩阵Q是由单位矩阵E实施初等列变换得到的，矩阵P是由单位矩阵E实施初等行变换得到的[3]。

6 向量法

将矩阵A化成向量组形式，对A施以初等行变换，使其化成单位矩阵，向量矩阵也施以相同的初等行变换。例如上例中

还有一些其他求逆矩阵的方法，例如特征多项式法等等，利用以上几种方法都可以求出一个可逆矩阵的逆矩阵，定义法在抽象矩阵求逆时用起来方便，初等行（列）变换法、分块矩阵法在求具体矩阵逆矩阵时用起来更加简单且不容易出错。

【参考文献】

[1]吴赣昌.线性代数（医药类第二版）[M].中国人民大学出版社，2012.

[2]李一博，等.矩阵求逆基本方法的注记与补充[J].高等函授学报（自然科学版），2010，06，34-36.

[3]北京大学数学系，几何与代数教研室代数小组编，高等代数[M]，第三版，高等教育出版社，2003.

[4]肖滢.逆矩阵的判定及计算方法[J].高等数学研究，2016，07，72-76.

[5]杜晓宁，等.求逆矩阵的方法总结[J].佳木斯职业学院学报，2017，04，252-253.