截交线教学方法浅析

魏昕

【摘 要】截交线是工程制图学习的重点和难点之一，本文在研究截交线性质及作图基本原理的基础上，提出求解复杂截交线问题的新方法和详细步骤，为培养学生空间想象能力和思辨分析能力提供新思路。

【关键词】截交线；教学方法；投影规律；工程制图

中图分类号： TH126-4 文献标识码： A 文章编号： 2095-2457（2018）27-0112-002

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2018.27.050

【Abstract】Intersecting line is one of the most important and difficult points in engineering drawing.On the basis of studying the character of intersecting line and the basic principle of drawing， this paper proposed a new method and detailed steps to solve the problem of complex intersecting line，and provide new ideas for cultivating students' ability of space imagination and speculative analysis.

【Key words】Intersecting line；Teaching method：project principle；Engineering cartography

0 前言

机械零件中经常出现平面与立体相交而形成的复杂交线，可以认为是平面截切立体，因而被称为截交线。截交线与点线面、基本体等知识紧密衔接，又是组合体分析的基础，具有承前启后的重要作用。如何理解与分析截交线是培养学生立体空间想象能力的关键之一，教师应在引导学生灵活运用前面所学点线面与基本体知识的基础上，帮助学生充分理解截交线投影特性，建立解题思路。

1 截交线性质

截交线是由直线或曲线组成的封闭线框。用以截切立体的平面被称为截平面，截交线既在立体表面上，也在截平面上。因此求截交线可归结为棱线上取点或立体表面上取点，然后依次用直线连接或光滑曲线连接。截切的立体可分为平面截立体交线与曲面立体截交线，本文限于篇幅，只讨论平面截交线。

1.1 投影分析

截交线在截平面上，本质上是多条直线围成的平面。工程制图中涉及的求解截交线问题绝大部分都是由特殊位置平面截切立体。若截平面为投影面垂直面，则截交线在所垂直的投影面上投影为一条直线，其余两面投影为空间平面的类似形。图1所示正垂面截切六棱柱，截交线投影在V面上积聚为一条直线，在H面与W面上投影是相似的六边形；若截平面为投影面平行面，则截交线在所平行的投影面上反映实际形状，其余两面投影均为直线。图2所示水平面与正垂面截切三棱锥，其中水平面截切形成的截交线在H面上为反映实形的三角形，其余二面投影为直线。

1.2 复杂截交线

截切立体可分为完整截切与不完整截切，完整截切是指截平面与每条棱线有交点，不完整截切则是指截平面只与部分棱线有交点。完整截切所产生的截交线形状都比较容易理解，因其顶点都在棱线上，被截切的立体有多少条棱线，则截交线就有多少条边。但对于不完整截切，由于被截切立体上一般会有多个截平面，截交线顶点部分在棱线上，部分在立体表面上，且投影互相叠加，形成比较复杂的截交线。如图2中三棱锥被相交的正垂面与水平面截切，二截平面只与一条棱线有交点，其余顶点在立体表面。截交线投影在水平投影面上重叠，使其交线投影成为不可见轮廓线，必须用虚线来表示。分析复杂截交线首先需要弄清楚各截平面位置及投影特性，逐个确认各截交线投影的基本形状，然后结合被截切立体投影特性作出截交线各顶点投影，从而得到完整截交线投影。

2 截交线作图原理

2.1 假想完整截切原理

完整截切所产生的截交线边线个数等于棱线个数，其形状一般为顶面或底面的类似形，教学时比较容易让学生理解与想象。但对于不完整截切的立体，由于截交线只与部分棱线由交点，无法通过底面或顶面来推测其形状，学生解题时往往无从着手。为引导学生弄懂不完整截切产生的截交线，可以假想将截平面扩大或延长棱线、扩大立体直至转换完整截切问题，使得截平面与每条棱线都有交点。此时得到假想截交线是由完整截切得到，因而易于想象。真实截交线是假想截交线的子集，将假想部分去掉后就能得到真实截交线。如图2所示，将截切立体的水平面扩大，使其与棱线SB与SC有交点，得到假想截交线△ⅠⅤⅥ。由于四边形ⅢⅣⅤⅥ是假想扩大截平面得到的部分，擦去其轮廓线后得到真实截交线△ⅠⅡⅢ

2.2 类似形原理

求截交线的关键在于作出各顶点投影，然后依据截交线各边线端点与各顶点投影对应关系作连接直线，从而作出完整截交线投影。如图1中，对于截交线边线ⅠⅡ，连接点1与点2得到V面投影，连接点1”与点2”得到W面投影。但当截交线顶点较多时，或立体上有多个截平面，判断两顶点投影之间是否存在截交线边线投影则会变得困难，非常容易出错。

依据平行投影特性，當平面图形既不平行也不垂直于投影面时，平面图形投影是原图形的类似形，对应线段保持定比、边数、平行关系、凹凸、直曲保持不变。将类似形各顶点用数字顺时针（或逆时针）编号，若另一投影面上投影为类似形，则顶点投影也为顺时针（或逆时针）变化。如图1所示，截交线在H面与W面上的投影为类似形，对H面上顶点投影按顺时针编号123456，则W面上对应顶点投影也是顺时针依次变化，保持相同的顺序关系，从而避免连接两顶点投影容易出错的问题。

3 截交线作图实例分析

3.1 解题步骤

总结截交线投影规律与作图原理，复杂截交线作图步骤如下：

第一步，找出立体上所有截平面，分析截平面投影特性，确认截交线在各投影面上投影的大致形狀；

第二步，若截平面为投影面垂直面则分析已知截交线投影，利用类似性原理作出未知截交线各顶点投影，并用直线连接得到截交线投影；

第三步，若截平面为投影面平行面则分析截平面与立体相交情况，与棱线相交就利用点在线上原理作出顶点投影，与棱面相交则利用假想完整截切原理作图。

第四步，还原立体，作出立体未被截切前的投影。分析截平面与棱线相交情况，若与棱线相交，则擦去被截切的棱线，若未相交则保留棱线。检查截交线各边可见性，对于不可见边线改画为虚线。

3.2 实例分析

例题1：如图3a所示，已知主视图和俯视图投影，补画左视图。首先对四棱柱上截平面分布情况进行分析，由主视图可以看出，四棱柱被正垂面与水平面截切。正垂面在V面上投影积聚为一条直线，在H面与W面上投影为类似形。由类似形原理可知，正垂面截切形成的截交线在W面上投影为类似形，对H面上类似形各顶点顺时针编号，则W面上各顶点投影也应按顺时针变化，如图3b所示。水平面在W面上投影为平行于Y轴的一条直线，对其顶点编号后作出W面投影，即5”6”7”。将四棱柱还原，分析被截切的棱线。未被截切棱线由于被截平面挡住，应画虚线。最终补画截切四棱柱W面投影如图3c所示。

例题2：如图4a所示，已知主视图和俯视图投影，补画左视图。对三棱锥截平面分布情况进行分析，由主视图可知，该立体被正垂面和水平面截切。由于正垂面在H面投影未完整给出，所以先从水平面开始分析。水平面对立体是不完整截切，可用假想完整原理将水平面扩大，直至将整个立体完整截切，得到假想截平面ⅠⅡⅢ，并作出三面投影。H面上以直线45为界，左边为真实截交线投影，右边为假想截交线投影，擦去△345后得到截交线真实投影四边形1245。此时可知V面上顶点4与5投影为重影点，如图3b所示。直线ⅣⅤ是正垂面与水平面之间的共有线，因此只需求出正垂面与三棱锥棱线交点ⅦⅧ，即可得到其在H面与W面上投影。最后，将三棱锥还原，擦去棱线ⅠⅦ与ⅡⅧ之间被截切的线段。将两截平面交线在V面上直线投影45由于在立体内部，在H面应改为虚线，如图8c所示。

4 结语

截交线教学的难点在于学生难以理解复杂截交线形状，找不到合适的分析方法与解题思路。本文总结截交线投影规律及作图原理，利用假象完整截切原理引导学生理解复杂截交线形状，利用类似形原理帮助学生避免截交线顶点过多时出错，提出一套完整截交线解题方法。实践证明，求解截交线的新思路与新方法取得良好教学效果。

【参考文献】

[1]王巍.机械制图（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2008.

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