极限集中关于无切线段的分析

陈成 徐芳 石丽莉

【摘 要】通过对自治系统轨线极限集和自治系统无切线段的分析，得到轨线与该轨线极限集中点的关系。为了寻找轨线与此极限集中任意点的关系，首先根据极限集具体情况（极限集中是否只有奇点），将所研究问题划分为两种情况进行讨论。根据轨线是否经过该轨线极限集，找到在每一种情况下轨线或者属于极限集或者无限趋近于极限集中的点。对轨线极限集含有常点的轨线而言，经过该轨线极限集任意常点，必然存在自治系统一条无切线段或者与该轨线有可列个交点或者轨线经过极限集的常点。

【关键词】自治系统；轨线；极限集

中图分类号： O175.12 文献标识码： A 文章編号： 2095-2457（2018）27-0127-003

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2018.27.057

【Abstract】By analyzing the limit set of autonomous system trajectories and the non tangent segment of autonomous system，the relationship between the trajectory and the limit point of the trajectory is obtained.In order to find the relationship between the trajectories and the limit points，first of all，according to the specific conditions of the limit set （is there only a singularity in the limit concentration），the research problems are divided into two cases.According to whether the track line passes the limit set of the trajectory，we found the track line either belong to a limit set or infinitely close to a point of the limit set.Further discussion is concerned with the trajectories of the limit set with constant points.Through the limit set of the trajectories arbitrary points，a regular point of an autonomous system that has a non tangent line segment or an intersection with the track or the track line passes the limit set.

【Key words】Autonomous system；Trajectory；Limit set

0 引言

19世纪末，庞加莱开始了常微分方程定性理论的研究，当时，他主要研究稳定性、周期轨道的存在及回归性等问题，创立了动力系统这一分支。随后，美国、巴西、苏联和法国等诸多学者极大推动了动力系统的发展，经过一系列理论研究，他们获得了遍历性定理（G.D.伯克霍夫得到的）[13]、Α.Α.马尔可夫总结伯克霍夫理论、高维系统的LaSalle不变引理[4]、平面系统著名的Poincare-Bendixson定理[2～4]和低维类梯度（或者Morse-Smale）动力系统是稳定的（雅各布.帕里斯（Jacob Palis）提出的）等一系列结果，这些结论是与极限集密不可分。

前面结论大部分用到了本文相关结论，但未作具体阐述与证明，本文深入进行分析并给予了详尽的证明。本文分析轨线与此极限集点的关系，得到轨线与此极限集的相交情况。再得到轨线必然与经过此轨线极限中的常点某一条轨线有无穷可列个交点，或者经过极限集的此常点。本文的证明过程中结合微积分与几何学知识，更显形象与清晰。

2 预备知识

对于[5]给定的平面自治系统

性质2[4]若在相空间内自治系统（1）的任何两条不同的轨线不可能相交。

4 结论

自治系统的轨线与其相应极限集中点的关系，文中不仅做了具体的说明，还给予了详细证明，为今后利用相关知识进行自治系统的理论研究与实际运用提供了理论基础。而文中的定理二，具体讨论极限集中常点所做的无切线段与此轨线的相交情况，为轨线的性质、轨线结构以及轨线与极限集关系的进一步研究提供了理论基础。文中第二个定理的证明，是从空间解析几何与微积分的角度加以证明，为今后相似问题的证明提供了新的思路和方法。

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