巧用坐标法 妙解外接球

广东省鹤山市纪元中学(529721) 李光喜

在有关多面体三视图的试题中,有一类求解多面体外接球体积或表面积的综合性问题,常常放在高考选择题压轴题的位置,难度较大,令许多学生尤其是文科学生十分头痛.

解决此类问题的常规办法是几何法,即先将三视图还原成多面体,再找到多面体外接球的球心,计算出半径,从而求出体积或表面积.但用几何法确定外接球球心的位置和半径,需要较强的空间想象、逻辑思维和计算能力,许多学生往往望而却步,一筹莫展.下面笔者结合实例,介绍一种简便实用的代数方法—坐标法.用它来求解多面体的外接球问题,只要建立适当的空间直角坐标系,通过简单的代数计算,就可方便地确定球心和半径,免除几何法直接找球心的烦恼.

例1(汕头市金山中学2017届高三上学期期中考试文科数学第11题)如图是某几何体的三视图,正视图和侧视图均为直角三角形,俯视图是等边三角形,则该几何体外接球的表面积为( )

图1

分析将三视图还原成一个三棱锥后,常规思路是用几何法先确定外接球的球心,再求出半径.若利用正三角形的对称性建立适当的空间直角坐标系,可以更轻松地确定球心的位置,算出半径,从而确定外接球的表面积.

图2

解由三视图可以得出原几何体为如图所示的一个三棱锥A−BCD,底面BCD为一个边长为2的正三角形,侧棱AB⊥底面BCD,AB=1.取BC的中点O,连接OD,以O为坐标原点,直线OD、BC所在直线分别为x轴、y轴,建立空间直角坐标系O−xyz,则,设外接球的球心为H(x,y,z),

例2(广东省实验中学2017届高三上学期第三次月考理科数学第11题)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图,则该多面体外接球的表面积为( )

图3

分析此题是一个有关三视图的外接球综合性问题,难度较大.用几何法解决的第一个难点是将三视图准确还原成一个四棱锥,第二个难点是确定外接球的球心和半径.若将四棱锥放到正方体中去考虑,利用正方体来建立适当的空间直角坐标系,确定球心和半径就非常方便.

图4

例3(2017年广州市高中毕业班模拟考试文科第11题)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某三棱锥的三视图,则该三棱锥外接球的表面积为( )

图5

分析解决此题的难点是将三视图准确还原成一个三棱锥,用几何法确定外接球的球心不太容易,若将三棱锥放到长方体中去考虑,建立适当的空间直角坐标系,可以轻松地确定球心的位置和半径.

图6

评注1、求解有关多面体三视图的外接球问题的第一个难点是将三视图准确还原成几何体.在将三视图还原成几何体时,有时将多面体放入长方体或正方体中去考虑,可以化难为易,且方便建立空间直角坐标系.

2、用几何法解决外接球问题的关键是确定球心的位置和半径,很多学生往往对此束手无策,但用坐标法有时比较方便,可以免除几何法直接找球心的烦恼.

3、用坐标法求解外接球问题,关键是利用图形特征,先建立适当的空间直角坐标系,再运用方程组的思想进行代数计算,将几何问题转化成代数问题,从而确定球心和半径.