从数学到物理

韩蕾+朱如鑫

摘要：电容元件是一种动态元件，它作为一种储能元件是电子线路的重要组成部分，决定了电路的基本特性和功能。本文讨论了《电路分析》课程中，电容元件电学特性的教学方法。采用寻根究源从数学角度出发落脚于物理特性的教学方法，有利于学生深刻理解电路元件的基本特性，并建立起严谨的科学作风和抽象的思维方法。

关键词：《电路分析》；电容元件；VCR；电学特性；储能特性

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2018）03-0195-02

一、引言

《电路分析》是电子、电气、自控、机电、计算机等电类各专业的一门重要的专业基础课，也是电类专业的第一门专业基础课，在教学上被安排为后续《模拟电路》、《数字电路》和《信号与系统》等课程的先修课程。《电路分析》研究电路的基本特性、基本理论和基本分析方法，主要讨论电阻电路、动态电路的时域分析、动态电路的相量分析和S域分析方法。电容电感元件作为动态电路的组成部分，其特有的电学特性直接决定了电路的工作原理和分析方法。对电容电感等动态器件的物理特性的理解和应用，是电类专业从业者的基本技能。因此在《电路分析》课程中，需要通过采用一定的教学手段对电容和电感器件的物理特性进行深入讲解和分析，带领电类专业零基础低年级本科生走进电学世界。本文介绍一种寻根究源地通过数学分析推导物理特性的教学方法，以电容元件为例，从元件的电压电流关系（Voltage Current Relation，简称VCR）入手讨论电容的基本物理特性，借助数学基础与物理推论的完美结合，使学生更加深刻理解电路元件的工作原理和基本特性，为电路分析和电路设计打下坚实的理论基础，同时建立起严谨的科学作风和抽象的思维方法。

二、电容元件电学特性研究方法浅析

以电容元件为例，从数学演算出发讲解其物理特性，主要包括定义、VCR和储能特性。

1.电容元件的定义。电容元件是实际电容器的理想化模型，电容具有存储电荷，进而存储电场能量的作用，是一种储能元件。

定义一个二端元件，如果在任一时刻t，它的电荷q（t）同它的端电压u（t）之间的关系可以用q-u平面上（或u-q平面）的一条曲线（库—伏特性曲线）来确定，则此二端元件称为电容元件。如果u-q平面上的特性曲线是一条通过原点的直线，且不随时间而变，则此电容元件称之为线性时不变电容元件，此时电容的定义式为q（t）=Cu（t）。

2.电容元件的VCR和基本物理特性分析。

根据电容和电流的定义式，可推导出电容元件VCR的微分形式如式（1）所示，基于这一数学表达式可做出如下物理特性分析：

①微分形式VCR的数学推导过程实际上是从电荷变化的角度描述了電容的VCR。由（1）式可知，在某一时刻电容的电流，与此时刻的电压两端并无直接关系，而是取决于该时刻电容电压的变化率，所以电容元件称为动态元件，这是电容元件的第一个基本特性。

②根据微分的数学知识可知，当=0时i（t）=0，即当电压u（t）随时间变化率为零时，i（t）也等于零。将数学分析推论至物理意义，假如电容电压不变或者是将直流电压加载在电容的两端，则电容电流为零，相当于开路，这就是电容的隔直效应，因此在电路中电容常被应用为一个交流耦合器件。如果电容电压随时间变化，则电流不为零，且电压变化越快，电流就越大。这就意味着电容可以通过交流成分，且频率越高越容易通过，由此可见电容是一个高通滤波器件，这是电容在电子系统中的一个非常重要的应用。

③数学上i（t）为有限值，也为有限值，即→∞是不成立的。回到物理分析，由于任何电流载体都有载流上限，电容亦然，所以电容两端的电压随时间得变化率也是有限的，即电容两端电压不能跃变，这就是电容另一个重要电学特性——连续性。

通过数学表达式（2），又可做出如下物理特性分析：

①积分形式VCR的数学推导过程实际上是从电荷积累的角度描述了电容的VCR。表明，在某一时刻t电容电压的数值u（t）取决于从-∞到t所有时刻的电流值，也就是说与电流全部过去历史有关，这体现出电容元件具有记忆性的特点。

②根据式（2），可以计算经过Δt的时间间隔，即电压的变化量Δu。

（5）

式（5）即为电容元件的储能公式，由此式可对电容的储能特性作如下分析：

①依据数学特性平方项不可小于零，推及物理意义，可知电容储能不能为负，因此电容是无源器件，虽然它可以与外电路发生能量交换，但仅限于是电容已经储存的能量，不可凭空向外提供能量。

②在u一定时，W与C呈正比例关系，在物理上讲，这就意味着当端电压相等时，电容值大的，期间储存得能量更多，所以C代表了电容器储存电场能的能力。

③由（4）式可知，在t1到t2期间供给电容的能量只与时刻t1和t2的电压值u（t1）和u（t2）有关。因此，电容储能多少与它的储能过程无关且与电容的电流无关。电容作为储能元件，它在某时刻储存得能量多少仅取决于此时电容两端的电压值，因此u被称为电容的状态变量，是动态电路分析过程中要重点求解的电路变量。

三、取得成效与展望

将《电路分析》课程一些知识点的授课方法从纯物理概念讲解改变为数学分析与物理教学相结合后，收到了显著的效果。首先学生对电容元件的物理特性有了更充分深刻的理解，知其然更知其所以然；其次借助数学推导培养了学生严谨的科学作风和抽象的思维方法；另外也从实际应用角度验证了数学是理工科的研究基础，使学生体会到数学是一门学有所用的基础学科；尤其是有利于学生建立起理工科的整体知识结构。这种教学方法，在电路分析课程中还可应用于叠加原理、齐次定理、动态电路的时域分析等知识点的讲解。

参考文献：

[1]任坤，李梅，刘红.“电路分析基础”课程教学设计中的思维导引[J].电气电子教学学报，2011，33（5）：85-86.

[2]佟亮，牛皖闽，齐迹，赵肖宇.数学方法在电路分析中的应用[J].高师理科学刊，2006，26（4）：84-86.

[3]张小梅，江雪梅，娄平.浅谈“电路分析基础”课程的教学改革方法[J].教育教学论坛，2015，5（21）：180-181.

[4]田社平，张峰，陈洪亮.直觉分析在电路教学中的应用[J].电气电子教学学报，2013，35（3）：96-99.

[5]徐向华.浅谈电容器[J].电子制作，2013，（12）：230.endprint