整体换元法在解题中的应用

陈卓序

摘要：数学是高中课程中的重要学科，数学作为一门逻辑思维很强的学科，在解题方法与解题步骤中，往往需要借助许多方法。其中，整体换元法是解答数学题的重要方法，整体换元法在数学解题过程中有着十分广泛而全面的应用。本文立足于整体换元法的相关概念及理论，浅述整体换元法在解题中的应用，为数学这一学科的学习与数学习题的解答提供更加科学有效的方法。

关键词：整体换元法；数学；解题；应用

一、整体换元法概述

1、整体换元法的概念。换元法是数学学科中的一个重要解题方法，它是指在解题过程中，将几个变量或者一个关系式用一个新的变量表示出来，化繁为简。其中，整体换元法是换元法中的重要类型，是指将几个变量关系或者一个复杂的关系式用一个新的变量表示出来，从而将一些复杂的关系式简便化，也将一些有关联的变量联系起来[1]。

2、整体换元法的意义。首先，从运算过程来讲，整体换元法的意义在于，简化运算过程，有利于运算过程的简便化[2]。在解题过程中，有些复杂的关系式在计算和书写的过程中，十分繁琐困难，如果运用整体换元法，设一个新的变量，用该变量表示关系式，就能使得运算过程更加简便化、标准化；另一方面，从解题思路来讲，整体换元法有利于将分散的、有一定联系的变量联结起来，有利于将复杂繁琐的数量关系整理为较为清晰、易于思考的关系。从这个意义上来说，整体换元是利用新引进的变量来等价替换原有的复杂变量，在思考与解题的过程中，始终将这些复杂变量当成一个整体，有利于思维的扩展与变量间关系的梳理[3]。

二、整体换元的类别

整体换元有许多类别，在高中数学的解题过程中，整体换元思想也有着十分广泛且深入的应用。这里例举几种高中数学课本中较为常见的整体换元的类别，从而更好地研究整体换元思想，为学好高中数学理清思路。

1、局部换元。局部换元法是整体换元法的重要组成部分，它是指在一个复杂的关系式当中，引进一个新设变量（通常用字母表示）来代表原关系式中出现多次的关系式，从而简化解题过程，使得解题思路与解题过程更加简便又标准。例如，在解答不等式：4^x +2^x -2≥0时，通过对不等式的观察之后，可以先设2^x =t（t>0），然后代入原不等式方程，就能轻松且正确地解答[4]。

2、三角换元。三角换元法在解答三角函数问题时有着十分重要的作用。在一个三角函数问题中，有较为复杂的根号形式，则可以引用新的变量来等价替换该根号形式的变量，或者用新的变量来等价替换满足三角函数关系的变量，从而借助三角换元法进行三角函数问题的思考与解答。例如，当变量x与变量y满足x2+y2 =r2（r>0）时，可以设x=rcosθ、y=rsinθ，从而解答三角函数问题。

3、均值换元。均值换元法是整体换元法中的另一种重要应用，是指在整体换元思想中，用新的变量形式来替换原有的数量关系，使得替换前的数量关系与替换后的数量关系是等价均值的。例如，当变量x与变量y满足x+y=2S条件的时候，可以设x= S+t，则y=S-t，降低解题难度[5]。

三、整体换元法在解题中的应用

1、因式分解。整体换元法在解答因式分解题型时最为常见，由于因式分解题型中，关系式较为复杂，所以整体还原法是解答因式分解题的重要方法，例如在分解因式x4-x2-3=0中，可以设y=x2，从而将因式变形为y2-y-3=0。这就是整体换元法在因式分解中的简单应用。

2、不等式。在解答不等式问题的过程中，常常运用整体换元法来解决复杂的数量关系。例如，在一元二次不等式f（2x-3）=x2+5x-3中，通过对题目的观察后，可以设变量t=2x-3，则原方程式可以表达为x=（t+3）/2 ，因此f（t）={（t+3）/2}2+5（t+3）/2-3。这就是整体换元法在解决不等式问题中的简单应用。

3、用验证法求数列通项。在高中数学课本中，关于数列的问题，多数都涉及求解數列通项公式的问题。然而，许多数列中复杂的变量与关系式，会给思考与解题的过程增添许多麻烦与难度。因此，在用验证法求解数列通项时，常常会运用整体换元的方法，将数列中复杂的关系式用一个新设变量表示，从而简化解题过程。下面以一道用验证法求解数列通项的题型为例进行分析：

四、结语

综上所述，整体换元法是解答数学题中的重要方法，在数学解题过程中有着十分广泛而全面的应用。研究整体换元法的意义在于更便捷化、标准化地解答不同类型的数学问题。作为高中生来说，数学学科是一门重要的学科，我们必须在日常的学习生活中，多思考、多练习，不断开拓思维，善于用不同的方法与思路解决数学问题。另一方面，我们应该在刻苦学习的同时，善于观察规律、总结规律，养成良好的数学分析能力与逻辑能力。

参考文献

[1] 施鹏飞.例谈解题中应用换元法策略[J].数理化解题研究：初中版，2010（12）：22-23.

[2] 黄慧.浅谈换元法及其应用发展思维能力[J].数理化解题研究：初中版，2015（11）：15.

[3] 邬虹萍.整体换元法几例[J].上海中学数学，2009（11）：13-15.

[4] 罗灿，方厚良.用换元法使三角函数的学习“活”起来[J]中小学数学：高中版，2016（1）：106-107.

[5] 于志洪.三角函数换元法在代数中的应用[J].数学大世界：教学导向，2000（2）：67.endprint