高中数学中的向量与复数探讨

张译云

摘要：本文探讨了高中数学中向量与复数的学习，为相关知识点的掌握和题目的求解提供了有效的学习思路。首先介绍了两者的基本概念，并剖析了其中的联系和本质上的区别。接着结合例题，从不同角度解析了两者的性质、运算法则等考点。最后总结了针对这两个知识点的学习方法和思维提升的路径。

关键词：高中数学；向量；复数

一、概念剖析

1、向量。引入向量是为了区别于标量，标量只有大小不考虑方向，但向量既有大小也有方向。由于多了方向，向量的加减不再是简单数量上的变化，还需要引入四边形法则，而向量的乘法又分为数量积和向量积，并且没有除法。这些运算法则奠定了学习向量的基础。

2、复数。引入复数是对数的扩充，为了解决负数开根号的问题，引入虚数单位i，实数与虚数的组合便是复数。实数用实数轴上的点表示，而复数则由复平面上的点表示，所谓复平面是由相互垂直的实轴与虚轴所构成，它是理解复数的重要工具。

3、联系与区别。向量和复数都可以在各自的坐标系中用二维坐标表示，两者的加减运算形式上看几乎一模一样，部分复数问题还可以转化为向量问题来解决，这既有助于联想，但也可能导致混淆。向量与复数的本质是不同的，复数依然是数，只能代表一个点，而向量同时具有“代数”和“几何”的特征，是可以移动的有向线段。

二、例题详解

1、运算法则。向量与复数的加减运算相似，但乘除运算不同，需要在解题时严格区分。

（1）例：已知复数z满足，试求复数z的值。解：这道题不难，却容易因为没学透复数的乘法而出错。向量的乘法分数量积与向量积，高中阶段常考数量积。对于向量来说总有，在实数域中也有，但对于复数来说，却不一定有。这道题如果想当然地将两边做平方，得，再将替换为做进一步化简，那就大错特错了。正确解法应当是假设（均为实数），再带入题目所给等式中，得到，因此有，解方程得，即可得。

（2）例：已知复数z满足，试求的最值。从这道题中也可以探究向量与复数在运算法则上的不同。对于向量来说，因此只有两向量共线时才有，对于复数来说，却总有，这个性质是求解这道题的关键。

这道题如果设（均为实数），此时有两个变量，不便于求极值，因此考虑利用共轭复数消去一个变量。因为，所以有，那么；再根据，可知，因此当时，取到最大值为12。

2、几何意义。借助坐标系中的几何特性，向量的几何意义既可以解向量题，也可以用于求解复数问题。

例：已知有复数，试求的最小值。

解：这道题有两种思路，一是直接用复数的代数运算进行求解，二是将代数问题转化为几何问题。第一种方法求解过程如下：

第二种方法是通过向量和复数在加减运算中的相似性，用向量代替复数继而求解。令向量和分别代替复数、，即可视作对向量進行长度上的缩放，而最小值可视作在方向上找一点，使之到B点距离最短。从几何上看就是过B点向OA做垂线，垂线的长度即为的最小值。

3、与三角函数结合。

例：已知复数z的模为1，如果存在，使得，试求的值。

解：这道题同样需要对复数z进行假设，由于，因此可用三角函数表示以缩减变量。设，带入得，则有和，由第二式可得或，由此得到两组解和，又因为，所以。

三、学习方法总结

1、区分表象与本质。在教材上向量与复数并不在一起，但形式上的相近之处很容易令人将两者联系起来。而部分同学容易犯的错误便是将两者的运算法则搞混淆，为了避免这样的错误，需要掌握两者的本质，然后深入理解运算法则上的不同，方能正确解题。

2、借助题目检验概念。区分概念说到底是为了解题，但只研究概念是不够的，要结合具体题目才能检验对概念的掌握。本文中所举例题有一定的代表性，实际学习中还需要多多练习才能熟练掌握。

3、抽取维度理。在看清向量与复数的表象和本质之后，实际上可以从中抽取出维度的理念，向量兼有大小与方向两个特征，复数则是二维数，二者维度相似，但具体参数不同。若能从一个更高的层次来看待这两者，将有助于整体数学思维的提升。

四、结语

向量与复数的问题，在高中数学考试中属于中等难度。对于这种较为基础的题型，掌握概念就掌握了大部分解题方法，结合具体题目的训练，便可较为熟练地解题。本文将向量与复数结合探讨，区分两者的概念，解析典型的考点，并从中提炼出维度的理念，可作为学习的有效参考。

参考文献

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