从线段到向量

张硕

摘要：本文首先由最基本的数学几何与代数知识出发，一步步引出维度理论，阐述数学中维度理论的本质在于研究用于描述特定对象的独立参数。接着进一步论述了独立参数的作用和选取原则，并结合高中数学中的知识，做多方面的阐述。最后对维度理论在高中阶段的应用意义做了探讨。

关键词：向量；维度；独立参数

一、概念引入

1、点、线、面、体。从小学数学开始，我们就学习了点、线、面、体的几何知识，这可以看作维度理论的入门。最常见的说法是：点代表零维，线代表一维，面代表二维，体代表三维。区别几种维度的依据在于确定一个点所需的坐标个数，在直线上确定一点需要一个坐标值，在平面上确定一个点需要两个坐标值，在空间中确定一个点则需要三个坐标值[1]。

2、标量与矢量。坐标的概念很容易理解，但在小学阶段没有明确指出不同坐标个数所代表意义的差异，平面上的点和空间里的点并没有什么不同。进入中学之后，引入了标量与向量的概念，线段属于标量，只有长度，而向量除了长度还有方向。这里的“长度”和“方向”即为描述某一对象的“参数”，当加入“方向”这一参数后，向量的运算法则与线段有了显著的不同。可以试想，越多的参数意味着将对象描述得更丰富，但处理起来也更复杂，维度理论的面貌此时已逐渐浮出水面[2]。

3、独立参数。通俗来说，所谓维度，就是指描述一个对象所需要的不同指标的个数，比如用身高、体重、年龄来描述一个人。而在数学上，这些“指标”称之为“参数”，为了方便进一步的研究，不同参数需要相互独立，否则在表达和计算时会变得复杂，这也就解释了为什么最常用的坐标系是直角坐标系。同时需要说明的是，描述同一对象的特征参数可以选取不同的组合，比如用起点和终点的x，y坐标可以描述一个向量，用长度和方向也可以描述一个向量[3]。

二、思维剖析

1、参数的作用。参数的作用在于描述对象，引入更多的维度即更多数目的独立参数，可以将对象描述得更完整。以向量为例，加入方向后运算法则出现变化，向量的加减不再是简单地数量上的和与差，而是需要根据角度关系进行“合成”；同时，在乘积运算上，出现了数量积和向量积的区别，运算的结果分别是一个数和一个向量。由此可见维度的增加使得对描述对象的性质研究得到扩展。这种变化在数学中比较抽象，不容易看出其意义。但结合物理上的力的合成与速度的合成，则可以很容易地理解，如果没有“方向”这一参数，那么不可能有进一步的分析，只能简单地研究方向相同的力与速度[4]。

2、参数的选取。前文说过，描述对象的参数可以有不同的组合，而参数选取的依据在于实际问题的需要。比如在平面中研究问题，同样是二维的情况，但可以选择不同的坐标系：直角坐标系和极坐标系，一般直角坐标系用得多，但在涉及到圆或强调方向的场合（比如导航），则用极坐标系更加简便[5]。

3、实例分析。在高中阶段对维度理论并没有深入系统的学习，这里仅从侧面来说明维度理论。对于一些常见的数学知识，如果从维度理论的角度来看，会有意向不到的结果。

（1）复数理论。数，本是一个最简单的概念，在引入虚数之前，数轴上的任何一个点都可以用一个坐标来表示，但引入虚数之后，实数轴成了复数平面，一个复数需要两个坐标才能确定。这里的点和坐标之间建立了“映射”，与函数的概念相通，实数轴只有一维坐标，对应一元函数，复数平面具有二维坐标，对应二元函数。虽然高中阶段没有系统学习二元函数，但从这里已经可以看到端倪。

（2）参数方程。参数方程的应用是针对高中数学的一类特殊题型，通过将普通方程化为参数方程，便可放在极坐标系中进行研究，以简化运算。这种变换是对维度理论的灵活运用，通过调整独立参数的选择来简化问题。

（3）线性规划。在高中阶段，线性规划问题实际上是线性二元函数求极值的问题，暂时只能通过图像法来解决。一元函数求极值通常需要用导数，从这一点进行推想，二元以至多元函数应当也有导数的求法，但由于维度增加了，其算法也更复杂。

（4）多维理论初探。受限于高中所学知识，对多维理论无法详细论述，这里只阐述一个思想：如果能从一维升到二维，二维升到三维，那么必然有四维、五维以至更高维，哪怕此时难以找到对应的形象来描述这种维度。这种由此及彼、类推扩展的思想也是维度理论的一部分。

三、应用意义

1、指导数学学习。维度理论代表的是一种思想，一种参数化的分析思想。掌握一定的数学思想有助于将不同的知识点融会贯通，并且这种系统化的分析方法有助于数学思维的训练。

2、与其他领域结合。数学与物理学的联系非常紧密，没有数学理论做基础，物理学就缺乏基本的研究工具。正如前文所說，没有向量运算法则，就没有速度合成定理。物理学中对维度的描述与数学有所不同，但本质是一样的，三维空间加上时间维度构成四维空间，新的物理理论提出描述宇宙四维也是不够的，需要更高维度，这些维度实际上都是描述“世界”的“参数”。

数学向下走是物理学，向上走是哲学。参数意味着表达某种特征，在哲学上可以理解为表象与本质之间的联系，而不同参数间的关系又反映了普遍联系的哲学思想。

四、结语

从小学到高中，维度理论以较为零散的形式出现在不同的知识点中。本文总结了其中的规律性，从普通高中生的视角对其做了系统性地梳理，从一些常见的知识点中进行挖掘，找出其潜在联系。本文所涉及的知识并不深奥，但对于掌握这一数学思想有着比较好的启发作用。

参考文献

[1] 姚龙涛.浅谈中学数学教学中的空间想象力[J].科学咨询，2011（9）：124.

[2] 陈燕梅.浅谈想象力在语文教学中的重要性[J].读与写（教育教学刊），2015（08）：205.

[3] 马兆富.浅谈怎样学好高中数学[J].试题与研究：新课程论坛，2011（14）：24.

[4] 凌秋芬.浅谈怎样学好高中数学[J].神州（下旬刊），2012（4）：219-220.

[5] 朱立明，马云鹏.“数学符号意识”研究：内涵与维度[J].教育理论与实践，2015，v.35；No.559（32）：8-10.endprint