浅谈数形结合在初中数学中的运用

欧阳恭倩

摘要：在初中数学的学习过程，对数形结合这种解题思想的熟练掌握与灵活运用十分重要。在解决相关问题时，合理使用数形结合思想，将抽象的数字转化为具体的图像，不仅能够方便我们更好理解题目的含义，还能够简化解题步骤，减少计算量和错误率。同时，数形结合既可以分析相关问题的数据关系又可以直观地看到该问题的几何含义，巧妙的运用数形结合往往可以起到事半功倍的效果。

关键词：初中数学；数形结合；思维

一、三角形问题与数形结合

1、勾股定理的推导。在初二下学期时，同学们开始接触勾股定理，从“勾三股四弦五”开始我们对勾股定理的学习。勾股定理是指在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方和等于写边边长的平方。在勾股定理的众多推导方法中，无论是我国古代数学家刘徽的“青朱出入图”或赵爽弦图，还是国外数学家的加菲尔德证法与欧几里得证法无一例外的都是通过图形面积进而对勾股定理加以证明，因此，数形结合的重要性可见一斑。虽然同学们不需要对勾股定理进行证明，但在学习过程中搞懂勾股定理的推导过程能帮助我们更好的理解这一定理，同时，我们在解决勾股定理的相关题目时也可以利用图形进行解题。例：求三边长分别为√13、√89、√170的三角形的面积。这一题可以将13拆成2∧2+3∧2，89拆成5∧2+8∧2，170拆，7∧2+11∧2，以此構建一个宽为2+5，长为3+8的长方形，进而求得三角形面积。

2、三角函数。在数学学科的学习过程中，三角函数如一头拦路猛虎，让很多同学望而生畏，所以对于初中三角函数知识同学们要认真学习，为高中三角函数的学习打好基础。上文提到的勾股定理也属于三角函数的范畴。对于初中生来说，学习三角函数首先要清楚正弦、余弦及正切的定义，其次要熟记各特殊角的正弦值、余弦值及正切值，最后要掌握三角函数公式，如三角函数倍角公式：sin（2α）=2sinαcosα、cos（2α）=cos∧2（α）-sin∧2（α）=2cos∧2（α）-1=1-2sin∧2（α）、tan2=2tanα/[1-tan∧2（α）]。正弦值是在直角三角形中，对边的长与斜边的长的比值，余弦值是在直角三角形中邻边与斜边的比值，正切值是在直角三角形中对边与邻边的比值，因此我们可以利用数形结合来记忆和计算各角的正弦值、余弦值以及正切值。此外我们和可以结合平面直角坐标系的象限来记忆正弦值、余弦值以及正切值的正负，例如对于正切函数有“正一三负二四”，即正弦函数的值在一三象限为正，二四象限为负。

二、圆与数形结合

1、点与圆的位置关系。对于点与圆的位置关系的判断这一问题，同学们也可以运用数形结合来解决。首先我们将已知点与圆心相连，设这条线段为d，将其与半径r比较，若d大于r，则该点在圆外；若d小于r，则该点在圆内；若d等于r，则该点在圆上。这一问题通过画图可以十分清晰的解决，也能够帮助学生直观地理解点与圆的位置关系与数值之间的联系。

2、直线与圆的位置关系。直线与圆有相离、相切、相交三种位置关系。通过作图可以非常清楚的看出来，同时我们也可以用数字说明。方法如下：通过圆心向已知直线做垂线交于一点，记圆心到该点的长度为d，然后比较线段d与半径r的大小关系，若d大于r，则该已知直线与圆无交点，即直线与圆的位置关系为相离；若d小于r，则已知直线与圆有两个交点，即直线与圆相交；若d等于r，则已知直线与圆恰好有一个交点，即直线与圆相切。

3、圆与圆的位置关系。圆与圆的位置关系一共有外离、外切、相交、内切、内含、五种。圆与圆位置关系的判断方法与点与圆的位置关系的判断类似，首先我们要将两圆圆心相连，记该线段长度为d，接着将其与两圆半径之和R+r比较，若d大于R+r，则两圆的位置关系为外离；若d等于R+r，则两圆的位置关系为外切；若d大于R-r且小于R+r，则两圆的位置关系为相交；若d等于R-r，则两圆的位置关系为内切；若d小于R-r，则两圆的位置关系为内含。

由上述点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的判断可以看出，对于图形位置关系的判定不仅可以通过作图，还可以根据相关数据来进行判定，为解决相关问题又开辟了一个途径。

三、结语

数形结合作为一种重要的解题方法，在我们的学习和思维过程中起着至关重要的作用，在初中数学的学习和教学活动中，教师要着重培养学生利用数形结合这一方法解决问题的意识，学生也要刻意多多运用这种方法，尽量做到看到可以运用数形结合解决的问题时，能够第一时间想到与、利用其来解题，同时，数形结合更是一种思维方式，在看到相关题目时能够将数据抽象为图形，有时可以帮助学生找到更简单、更巧妙的解题方法。因此，在初中数学的学习与教学过程中，要注意这种能力的培养。上述数形结合在数学中的运用例子只是众多实例中的一小部分，数形结合这一方法在数学领域有着十分广泛的运用，希望同学们可以正真掌握这一方法，从数学学习中获得更多收获与乐趣。

参考文献

[1]王立超，王保平.圆与方程知识点解读及常考题型分析，学术期刊：中学生数理化（高一版），2015，12.

[2]马阿色.“中学数学中的勾股定理及其妙趣”.学术期刊：读书文摘，2016，19.

[3]潘薇羽.由“d=r”说开去——切线判定定理和性质定理的证明，学术期刊：中学教学参考，2012，5.endprint