明辨几何难点，找准教学用力点
——以“圆周角（第1课时）”为例

☉江苏常熟市第一中学 朱 悦

近来关注到章建跃博士所作的“核心素养统领下的数学教学改革”报告，章博士在报告中指出理性思维是数学素养的灵魂，并认为：数学的思维方式，追求最大限度的一般性模式，特别是一般性算法的倾向，抽象化，运用符号，建立模型，逻辑分析，推理，计算，不断地改进，推广，更深入地洞察内在的联系，在更大范围内归纳概括建立更为一般的统一理论等一整套严谨的行之有效的科学方法.近期在参与一次教学研究活动中，观摩了一节“圆周角（第1课时）”教学，执教老师课前用力很多，制作了精致的教学课件，使得较多的教学时间花在课件展示、画板演示上，评课时得到了较多的标签式溢美之词.然而，笔者另有所思，本文先梳理该课的前两个教学环节，并跟进反思和商榷意见，供研讨交流.

一、教学流程

教学环节1：课件演示，引入新知.

PPT出示图片：图1是一个圆柱形的海洋馆的横截面示意图，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗弧AB观看室内的海洋动物.

图2

图1

图2是圆柱形的海洋馆横切面的示意图，弧AB表示圆弧形玻璃窗.同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E.

（1）同学甲的视角∠AOB的顶点在圆心处，我们称这样的角为圆心角.同学乙的视角∠C、同学丙的视角∠D和同学丁的视角∠E不同于圆心角，是与圆有关的另一类角，我们称这类角为________.（圆周角，板书课题）

（2）图2中，∠C、∠D和∠E有什么共同特点？

对照图形回顾圆心角的定义引出圆周角定义：

定义：顶点在______，并且__________________的角叫作圆周角.

小结圆周角必须具备两个特征：（1）顶点在圆周上；（2）角的两边都和圆相交.

与圆心角的定义相比较，它们的定义中都提出了角的顶点的位置，但因为以圆内任意一点为端点的射线必然与圆相交，因此圆心角的定义中未提与圆相交.但在圆周角的定义中，两边与圆相交的条件不能省略.

设计意图：从生活中的实例入手，让学生经历观察、分析，抽象出图形的共同属性，得出圆周角定义，理解圆周角概念的本质.

练习：如图3，判断下列5个图形中的角是不是圆周角，如不是，请说明理由.

图3

设计意图：为了使学生更加容易掌握概念，此处教师并排呈现正例和反例，有利于学生对本质属性与非本质属性进行比较.

情境追问：下面我们继续研究海洋馆的问题，设想你是一名游客，甲、乙、丙、丁四位同学的位置供你选择，你认为在哪个位置看到的海洋景象范围更广一些？

请在图4背靠墙的地方选择位置画一个与∠C具有共同特点的角.（教师开始在计算机上进行验证.投影演示结果）

师生确认：同弧所对的圆周角有无数个.

结论：在同一个圆中，同弧所对的圆周角有_____个.

师：你觉得你选择的位置与乙、丙、丁三位同学的位置相比较，谁看到的海洋景象范围更大？如何比较？

教学环节2：探索并猜想圆周角性质.

学生开始动手操作验证：有的借助量角器，用度量的方法进行验证；有的采用折叠重合的方法进行验证……接下来，教师开始在计算机上进行验证，如图5.

图4

图5

发现：同弧所对圆周角相等.

猜想：在同一个圆中，同弧所对的圆周角________.

设计意图：引导学生经历观察、猜想、操作、分析、验证、交流等基本教学活动，探索圆周角的性质，感知基本几何事实，初步体会两种数量关系：①同弧所对的圆周角和圆心角的关系；②同弧所对的圆周角的关系.

继续用几何画板开展演示，如图6，探讨同弧所对圆周角与圆心角的关系.

图6

结论：同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的_______.

根据度量结果和观察结论猜想：（既然这样，我们请一位同学把今天所有发现的结论用文字语言表述一下）

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角_____，并且都等于这条弧所对的圆心角的__________.

设计意图：教师使用几何画板做进一步演示与验证，用几何动态的语言来研究圆周角与圆心角的关系，在某些量变化的过程中让学生观察不变的数量关系，帮助学生更好地理解圆周角与圆心角的关系.

教学环节3：证明圆周角定理.

过渡：有句话说“看到的未必是真实的”，为了更好地说明结论的正确性，下面我们探究其论证方法.首先，观察弧AB所对的圆周角，并思考圆心与圆周角有哪几种位置关系.

学生画图，教师巡视，在学生所画的图形中发现圆心与圆周角的三种位置关系的例子，并在展示台上演示.限于篇幅，这里略去.

继续变换不同的圆周角与圆心的位置关系.教师演示，并依次归纳出三种位置关系：

圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上，圆心在圆周角的内部，圆心在圆周角的外部.（如图7～9）.

图7

图8

图9

设计意图：以动态演示的方式，帮助学生发现并理解圆心与圆周角的三种位置关系，为分情况证明圆周角定理奠定基础.此处分类的标准是关键，教学中，让学生通过合作探究，学会运用分类讨论思想研究问题，培养学生思维的完整性和深刻性.

在上述三种情况中，你觉得哪个图形较特殊一点？你能利用该图来证明刚才我们发现的同弧所对的圆周角与圆心角的大小关系吗？（学生再次度量验证）

可以发现，圆周角的度数没有变化.并且圆周角的度数恰好为同弧所对的圆心角的度数的一半.下面我们分圆心在角的一边上、圆心在角的内部、圆心在角的外部三种情况进行证明.（限于篇幅，略去）

教学环节4：圆周角定理例、习题训练.（限于篇幅，略去）

教学环节5：课堂小结与布置作业.（限于篇幅，略去）

二、教学思考与商榷意见

这节课的主要亮点在于借助几何画板演示发现圆周角的性质（变换位置继续探究），在度量确认这一性质之后，才开始证明性质定理.笔者认为，这一亮点并不是本课教学的真正的用力点.平面几何源远流长，几千年前是没有如今的几何画板工具的，从学科本真来看，怎样优选问题情境背景是教师对教学内容的深刻理解，从本课教学内容来看，如下思考的角度也许可以追求圆周角定理的理解深度.

思考之一：几何主要研究图形的形状、大小和位置关系.圆周角与相应的圆心具有重要的数量关系，同弧所对的圆心角只有一个，但所对的圆周角有无数个，这无数个圆周角的度数却为圆心角的一半！这个性质的发现，无需课件演示，只要学生画图准确，直观就能发现并猜想和证明，开门见山，定义圆周角之后，可直接让学生观察并猜想，然后度量确认并理性证明，不需要用动画或课件演示一个简单易知的性质.

思考之二：圆周角定理的证明是难点，主要是引导学生辨析猜想的题设与结论，因为题设中的同弧所对圆周角的位置不定，所以能否想全不同的位置关系是教学难点，在这一教学难点上值得多花时间、多加引导并进行突破，我想，这个环节处理得是否恰当，需要教师的专业基本功和深度预设.那些直接将可能的三种情形画出来，让学生分别证明的做法是低品质的做法，达不到深度教学的高标准.

思考之三：圆周角定理的例题与习题应用，不需要列出一些预设的题，只要在黑板上进行适当的、即时的变式，然后让学生参与编题、小组内互相求解、大组展示、请其他组的同学参与解答和互评，也是例、习题的教学亮点.

思考之四：从目前李庾南老师倡导的“三学”（学材再建构，学法三结合，学程重生成）来看，学材再建构倡导单元教学，这节课可以把例题、习题教学部分淡化，而在圆周角定理获证之后，将图形位置不断特殊化，从而得出直径所对的圆周角为直角；再逆过来提出逆命题思考圆周角为直角时所对的弦是否是直径，可以在“圆周角（第1课时）”就帮助学生完善相关知识体系，也是打破教材束缚的大胆实践，教师教学的专业自主性也体现在此.当然，这需要教师对这部分教学内容更深刻的理解和更高的课堂驾驭.

1.李庾南，祁国斌.自学·议论·引导：涵育学生核心素养的重要范式［J］.课程·教材·教法，2017（9）.

2.郑毓信.“问题意识”与数学教师的专业成长［J］.数学教育学报，2017，26（5）.

3.李庾南.自学·议论·引导教学论［M］.北京：人民教育出版社，2013.

4.章建跃.理解数学是教好数学的前提［J］.数学通报，2015（1）.