基于二阶自相关过程残差控制图的改进

魏兴龙

摘要：本文将以AR（2）过程为例，将CUSUM和EWMA控制图的统计量相整合，提出改进MEC和MCE两种控制图，以平均运行链长（ARL）和额外平方损失（EQL）做为评价效率的重要指标。通过仿真分析去验证，新的控制图对于自相关模型发生均值漂移具有较好的检测效率.

Abstract： In this paper， the AR （2） process is taken as an example， the statistics of CUSUM and EWMA control charts are integrated， and two control charts， MEC and MCE， are proposed. The average run length （ARL） and extra quadratic loss （EQL） are used as important index to evaluate the efficiency. Through the simulation analysis to verify， the new control chart has a good detection efficiency for the mean shift of the autocorrelation model.

关键词：残差；平均运行链长；自相关；漂移；MEC；MCE；统计过程控制

Key words： residual；average run length（ARL）；autoregressive；shift；Mixed EWMA-CUSUM；Mixed CUSUM-EWMA；statistical process control

中图分类号：O212.1 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2018）03-0192-04

0 引言

在生产过程中，为了实现统计过程的控制，提升产品的质量，控制图被认为是一种有效的控制措施。常规控制图需要基于过程的观测值是彼此相互独立这个条件才能使用，但往往这个要求难以实现于实际生产过程中，观测值并不是都能够满足独立性的假设前提，自相关现象是伴随着生产过程普遍存在的[1]。以往众多研究大多着重于一阶自相关过程即AR（1）的性能对比上，而对于二阶的，AR（2）等甚至更高阶过程的监控控制图的研究则少之又少。通过分析孙静的研究[4]，平稳自相关过程的相关系数为负值且呈现强相关时，过程均值发生漂移，自相关模型的自相关性作用下，对小漂移残差控制图及时监测警报概率很大，而对于正的自相关系数则需要进一步提高异常检测效率.在本文中，我们提出改进了的MEC和MCE去监测AR自相关模型数据，针对过程均值发生漂移，通过对残差的检测，将它们与Shewhart控制图，CUSUM控制图和EWMA控制图进行监测效率的对比，我们发现其可以更好地检测自相关发生的小漂移[2-4]。

1 预备知识

AR（p）模型是p阶自相关模型，满足：

3 控制图性能对比和分析

通过以往的研究文献可知，α1，α2自相关系数和越小，对于过程均值发生漂移，残差控制图能越早的监测出来发出报警。而对于α1+α2越大，过程均值发生σ漂移。在自相关过程的作用下，漂移被减少到σ（1-α1-α2），常规控制图对这样的小漂移监测并不灵敏，会导致漏发警报的现象，从而降低监测效率。所以在下文的控制图的比较中，我们将着眼0<α1<1，0<α2<1的情况进行研究比较。

AR（2）模型各类残差控制图的ARL，k=0.5，λ=0.4。不失一般性，定义AR（2）受控状态下均值为μ=0，模拟运算具体结果见表1。

一般情况下，为了方便控制图的比较，需要在受控状态下去假设具有一样的平均运行链长。设定在受控状态下，即σ=0，ARL0=1000，去比较失控状态下平均运行链长，在失控状态下，平均运行链长越短，说明可以越早能发现过程均值存在的漂移，即控制图的性能越好。为了方便比较，我们将均值漂移大小分为小σ<1，中1<σ<2.5，大σ>2.5三个类别。表中的数值换种呈现方式，数值简化为图1。

通过图1对比可发现：

①在α1+α2较小的情况下，α1=0.2，α2=0.1时候，MEC和MCE控制图在σ<1时候，相对于Shewhart，EWMA和CUSUM控制图，具有较好的检测表现，可以更早的发出报警信号。而在中漂移的情况下，没有EWMA和CUSUM控制图表现好。在σ>2.5的漂移情况中，检测效率更低，差距较为明显。

②在α1=0.4，α2=0.2的情况下，MEC和MCE控制图的表现与CUSUM控制图相类似，中小漂移的发生状况下，都具有较高的检测效率。而在较大漂移后，EWMA控制图的检测效率表现更为优势。

③在α1=0.6，α2=0.2或者α1=0.8，α2=0.1的情况下，MEC和MCE控制图在各类的漂移，检测的表现更好。即由于过程的均值发生不同类别的漂移波动，过程的残差引起的相应偏离也较小，对此MEC和MCE控制图可以更早的发出报警。

④MEC和MCE控制图相比较，在α1+α2较小情况下，两种控制图的表现差距不明显，而在α1+α2较大情况下，无论过程均值漂移大或者小，MCE控制图的检测效率表现更好一点。

由Abbasi，Riaz，Miller，Ahmad，和Nazir[11]提出的額外平方损失（EQL）。EQL定义为在漂移范围σMAX？叟σ？叟σMIN内，以σ2为权重对ARL进行加权平均，ARL表达式为：

4 结论

通过上文的各类残差控制图的设计和性能分析对比，证明了MEC和MCE控制图提高了对自相关序列过程发生中小漂移检测的灵敏度。在α1+α2越大，MEC和MCE控制图的表现越好。综上所述，本文提及的MEC和MCE控制图在自相关模型发生漂移时候，检测效率有了良好的提高。在实际的生产场景中，提高的检测效率将会带来实际的经济效益。endprint