“不都”or“都不”?

2018-01-25 05:22王爱军
新世纪智能(数学备考) 2018年10期
关键词:常用语性命全称

王爱军

对“三个实数a,b,c都相等”进行否定,结果为“a,b,c不都相等”还是“a,b,c都不相等”呢?你曾经产生过这样的纠结吗?不少同学对“不都”和“都不”的意义混淆不清,导致在解题时产生错误.那么我们如何正确理解它们呢?首先,我们必须要弄清楚以下的结论:

(1)含有一个量词的全称命题的否定,若全称命题p:∀x∈M,p(x),则它的否定┐p:∃x∈M,┐p(x).全称命题的否定是存在性命题.

(2)含有一个量词的存在性命题的否定,若存在性命题p:∃x∈M,p(x),则它的否定┐p:∀x∈M,┐p(x).存在性命题的否定是全称命题.

一般地,量词“都”表示全部,无一例外,含有量词“都”的简单命题是全称命题.“都不”表示全不,即一个也没有,含有“都不”的简单命题其本质上依然是全称命题.而“不都”表示不是全部,即至少存在一个不是,包含一部分不是或者全部不是,它是对量词“都”的否定,因此,含有“不都”的简单命题也通常可以理解为存在性命题.

简而言之,含“都不”和“不都”的简单命题有如下区别和联系.

联系:“不都”和“都不”都表明至少存在一个不是.

区别:(1)“不都”是“都”的否定,“不都”表明可能局部不是,亦有可能全部不是,其包含“都不”这一特殊情况,即“都不”是“不都”的子集;

(2)含有“都不”的简单命题其本质上依然是全称命题,含有量词“不都”的简单命题通常是存在性命题.

一、“不都”与“都不”在常用语与数学逻辑用语中的意义辨析

例1(1)本次学科竞赛获奖者不都是我们班的.

(2)本次学科竞赛获奖者都不是我们班的.

辨析(1)作为常用语“本次学科竞赛获奖者不都是我们班的”的理解常常带有暗示大多数学科竞赛获奖者都是我们班的,仅有少数不是我们班的;但从数学逻辑用语的角度准确理解这句话,应包含“部分是我们班的”或“全部不是我们班的”.(2)对“本次学科竞赛获奖者都不是我们班的”的理解在常用语与逻辑用语两方面意义相同,没有歧义.因此我们应注意常用语理解的片面性、不准确性,学会利用数学逻辑知识准确严密地理解一个命题.

二、含有“都”的简单命题的否定

例1请写出下列命题的否定:

(1)所有小猫都喜欢吃鱼;

(2)小猫不都喜欢吃鱼;

(3)所有小猫都不喜欢吃鱼.

解(1)否定:并非所有小猫都喜欢吃鱼,即有的小猫不喜欢吃鱼.

(2)“小猫不都喜欢吃鱼”即“有的小猫不喜欢吃鱼”,其否定:所有小猫都喜欢吃鱼.

(3)否定:并非所有小猫都不喜欢吃鱼,即“有的小猫喜欢吃鱼”.

点评含“都”、“都不”的简单命题是全称命题,含“不都”的简单命题是存在性命题,认识到这一本质是顺利写出其否定的前提和关键.

三、含有“都”且带语气助词的命题的否定

例2写出命题“全等三角形一定都相似”的否定.

错解1全等三角形不一定都相似.

错解2全等三角形一定都不相似.

点评有的同学认为“一定都”的否定是“不一定都”,其实“不一定都相似”包含了“都相似”与“不都相似”两类,其意思表达比较模糊,没有给出明确论断,因此它不能作为原命题的否定.对“全”、“都”的否定,只要在前面加一个“不”.而“一定”是一个语气助词,带强调意味,这两者有一定区别.在对“一定”、“一定都”等否定时,可分两步进行,先将“一定”两字拿掉,对剩下的命题进行否定,再将“一定”两字放在“不”的前面.本题正解:全等三角形一定不都相似.

四、隐含“都”的命题的否定

例3写出命题“负实数的相反数是正实数”的否定.

错解负实数的相反数不是正实数.

点评命题“负实数的相反数是正实数”是隐含“都”的命题,理解这个命题时我们首先应该补全被省略的量词,以便准确把握命题的本质,其完整表达应是“所有负实数的相反数都是正实数”.因此这个命题是全称命题,其否定就应该是存在性命题了,我们不能简单地将“是”改成“不是”草草了事,还应该注意量词的改变,因为错解“负实数的相反数不是正实数”实际上依然是一个全称命题,即“所有负实数的相反数都不是正实数”,其不合理性就显而易见了.本题正解:并非所有负实数的相反数都是正实数,即“有的负实数的相反数不是正实数”.

“不都”,还是“都不”?关键是洞穿其本质,然后只要按照存在性命题和全称命题的知识按部就班地处理,问题就迎刃而解了.

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