论一题多解与多题一解

刘建明

摘 要 在数学的教学过程中，一题多解与多题一解经常被人提及，所谓一题多解，是通过不同的解题思路，采用不同的解题方法和不同的运算过程去分析求解，而多题一解是对同一类型或者能够采用统一的解题方法的题型，归纳总结出相应一体化的解题方案，达到以不变应万变的解题高度。前者在于拓宽解题思路，发散思维，培养学生积极思考的解题素质，后者在于培养学生对同类题型进行归纳总结，提高解题能力。

关键词 多题一解一题多解 发散思维 归纳总结

中图分类号：G642 文献标识码：A

克莱恩说过“数学是一种理性的精神，使人类的思维得以运用到最完善的程度。”数学的魅力在于它的多样性 ，一道题目能够有不同的解决方式，即人们常说的一题多解；这两种数学思想对于激发学生的学习兴趣，发展学生的思维能力，进一步提高中学生的数学能力有着极其重要的作用。

1一题多解在中学数学中的运用

一题多解是指一道数学题会有不同的解题方法和不同的运算过程去分析求解，这是数学教学中最常用于拓展学生发散思维的一种方法。它在几何与代数教学中都有体现。

一题多解在几何中运用最广泛的是平面几何内容，例如以下这道题。

在△ABC中，AB=BC，D为AB上一点，E为AC延长线上一点，且BD=CE，DE连线交BC于F，求证：DF=EF

证法1：过D做DG平行于AE，通过△DGF≌△ECF，从而得到DF=EF。

证法2：过E做DG平行于AB交BC延长线于G，通过证明△FDB≌△FEG从而得到DF=EF。

证法3：过B做BG平行于AE，过E做EG平行于BC，连接GF，通过证明BG=CE=BD，△BDF=△BGF，∠GEF=∠BFD=∠BFG=∠EGF，得证CF=GF=DF。

证法4：过D做DG平行于BC，过C做CG平行于BD，连接FG，与上面证法类似，得出DF=EF。

证法5：过E做EG平行于BC交AB延长线于G，通过证AG=AE，BG=CE=BD，由平行线等分线段定理得证DF=FE。

类似的还可以做DG平行BC交AE于G等等，本题通过灵活的辅助线，以不同的证法，融合初中全等三角形，平行线定理，等腰三角形等角对等边这方面的平面几何知识，在鼓励学生拓宽思维，积极思考解题思路，提升教学乐趣的同时，以一道题巩固初中各种平面几何知识，相比于每种知识讲解一道题的形式而言更加事半功倍。

既然一题多解好处如此之多，那么一题多解的教学关键又在何处呢？

对于学生而言，一题多解的关键在于发散思维，在于解；对于教师而言，一题多解的关键则在于题，如何能够找到甚至创造出能够多解，融合多种知识的题型是一题多解的教学关键。这对教师有着非常高的要求，首先要对学生已学的知识点有着非常高的敏感度，全面细致透彻地了解知识点是基础；更进一步则要求教师对某个知识点的考题有足够的储备，对于题型要有高敏感度；最后则要求教师要有较高的创新能力和创新意识。三者缺一不可，基础不牢地动山摇，没有知识点的全面掌握连基本的教学效果都达不到就更不用谈一题多解教学；巧妇难为无米之炊，没有题型的储备，即使再有创新的想法也难以落到实处；逆水行舟固步自封，执拗于古板的传统教学，不思创新进取也难以取得教学上的突破。

2多题一解在中学数学中的运用

相比于一题多解，多题一解也是一种非常重要的数学思想。它更重视学生的归纳总结能力，在一定数量的题型研讨学习之后，根据特定类型的题目总结出一套特定的解题方案或者思路，例如平面几何中的辅助线有圆常用的中垂线，求解带参数的不等式等等，这类典型的题型都可以归纳出常规的解题方案，学会一题，其他相似的题都能通过自主学习得到。这种思想对于培养学生的自主学习能力有非常重要的意义。

而多题一解在代数中经常使用，例如以下这几道题型：

题目一：不等式2x m>-3的解集是x>-2，则m的值是____

题目二：如果关于x的不等式（m 1）x>（1 m）的解集是x<-1，则的取值范围____

以上二道题目其实都是属于带参数的不等式或不等式的求解。

这二道题目都是含有参数的不等式，其中已知解集，要求参数的范围。这种题目的常规做法都是用含参数的不等式表示未知数，然后根据题目给出的解集的形式进行解答。这种题目考查两点，题目给出的解集要和用參数表示的解集一样，考虑符号和数值两个部分，符号方向要一致，数值要相同。

通过对以上两道题的收集整理，当碰到类似的含参数的不等式求解题型时即可以快速得找到解题思路，这便是多题一解的意义所在。那么多题一解中学生和教师的定位又是怎样的呢？

学生因为知识储备有限或者题型储备有限，很难从相关题型中总结特点，找出一套通用的解题思路或者技巧，所以学生在多题一解中更偏向于题，只有充足的题量储备，才有可能达到多题一解的高度，反观教师这一角色，拥有丰富的教学经验，对知识点融会贯通的程度明显要比学生强的多，见过的题型也绝对比学生丰富，所以教师在多题一解中更重要的是解，以丰富的经验和题量储备，为学生归纳总结出某类题型的解题技巧，能够大大的提升学生的解题能力，强化学生的解题思路。

3一题多解与多题一解的对比

一题多解与多题一解各有优点和侧重点，一题多解在于培养学生发散思维，多思路解题，让学生主动养成勤思动脑的解题习惯，教师只扮演激发兴趣的引路人。多题一解在于引领学生归纳总结类似题型的解法，侧重点在于提高学生的解题能力，教师的角色更多是铺路，以丰富的解题经验为学生提供更多的解题技巧与思路。不管是一题多解还是多题一解都是一种非常高效的学习方法，教师应该在初等数学的教学中逐渐渗透这两种思想，以达到培养学生自主学习的能力。

参考文献

[1] 游荔密.中学数学1的妙用[J].福建中学数学，2008（05）.

[2] 王平.组织一题多解，培养学生发散思维[J].雁北十分学院学报，2001，17（06）.

[3] 贾凤梅.中学数学教学要注重培养学生的数学思维能力[J].教学理论与实践，2009（S1）.endprint