巧用错误资源 支撑深度学习

刘峥嵘

深度学习是一种基于理解的学习，是指学习者以高阶思维的发展和实际问题的解决为目标，以整合的知识为内容，积极主动地、批判地学习新知识和思想，并将它们融入原有的认知结构中，且能将已有的知识迁移到新的情境中的一种学习。

一、深度学习需扎根于深度质疑，在质疑中加深对深层知识的理解

在讲授完基本不等式的应用后，教师设计了如下一道练习题：已知0

大多数学生提出如下解题思路：解法1：y=x（1-2x）=-2x2+x=-2（x-■）2。∵ 0

解法2：y=x（1-2x）=■×2x（1-2x）≤■×[■]2=■。当且仅当2x=1-2x即x=■时，y取最大值■。

解法1利用一元二次函数的单调性求最值，解法2符合基本不等式“一正，二定，三相等”的条件，因此正确无疑。但也有学生提出如下2种解题思路，并质疑：我的做法为什么错？

解法3：∵ 00，从而y=x（1-2x）≤[■]2=■，当且仅当x=1-2x即x=■时取等式。所以当x=■，y取最大值■。

解法4：∵ 00，从而y=x（1-2x）≤[■]2=■恒成立，令h（x）=■，所以只需y≤h（x）min即可，易得h（x）>■，所以y≤■。

二、深度学习需扎根于深度感悟，在感悟中“去皮留質”

解法3错误的根源是什么呢？

当时0

解法4错误的根源是什么呢？此解法中运用了转化思想，将f（x）≤h（x）恒成立转化为f（x）max≤h（x）min，这属于双函数单变量的任意性问题，对于这类问题，不少学生往往无从下手，到底如何正确转化？教师引导学生利用图像来直观分析解法4。画出函数f（x）和h（x）的图像。由图像可以看出，在（0，■）内，f（x）的图像始终在h（x）图像的下方，它们相切于P（■，■）。但很明显f（x）max≤h（x）min是不成立的。教师追加一问：为什么呢？学生恍然大悟，f（x）取最大值时的x与h（x）取得最小值时的不相等！教师还是追加一问：那么怎么解决双函数单变量的任意性问题呢？学生经过思考，认识到：对于这类问题基本的解题思路有两种，一种是作差，把两个函数转化成一个函数，从而变成单函数变量中的任意性问题；另一种方法是分离参数法。学生通过分析、诊断，提炼出了利用基本不等式求最值的注意点，理解了双函数单变量的任意性问题如何正确转化。

三、深度学习需扎根于深度重构，由“雾里看花”到“了若指掌”

与解法3相比较，解法2实质是用基本不等式说明00）中a+b不是定值的话，就无法保证当且仅当a=b时（■）2的值就是ab的最大值。

解决了问题后，教师围绕“错误资源”的特征引导学生深入探究，进行知识的深度重构。

探究1.设正数a，b满足a+b+3=ab，求a+b的最小值。

探究2.若对任意x∈[1，2]，不等式■≤■恒成立，则实数a的最小值为_____。

学生的“错误资源”，是可遇不可求的，是稍纵即逝的，是正确的先导，是思维火花的闪现。教学实践告诉我们：抓好学生的“错误资源”是重要的，但如何规避错题并构建起清晰的自我监控回路者更重要的。基于深度质疑、深度体悟、深度重构的深度学习是建构观念、培养思维、提高探究能力的必经之路，在数学教学中，设计恰当的教学内容是促进学生深度学习，是发展学生数学核心素养的关键。

责任编辑徐国坚