2.3离散型随机变量的均值与方差
——2.3.1离散型随机变量的均值

天津市第四中学 高达溟

教学目标：

1.知识与技能

了解离散型随机变量的均值或数学期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值。

2.过程与方法

理解数学期望的性质和常见分布的数学期望，能熟练运用它们求相应的离散型随机变量的数学期望。

3.情感、态度与价值观

培养学生的科学态度，勇于探索和敢于创新的精神。体现数学的文化功能与人文价值。

重点难点：

教学重点：离散型随机变量的均值或数学期望的概念。

教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出均值或数学期望。

教学过程：

一、复习旧知

1.随机变量

如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示。

2.离散型随机变量

对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量

3.分布列

设离散型随机变量X可能取得值为x1,x2,…xi,…xn。

X取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为P(X=xi) =pi则称表

为随机变量X的概率分布，简称X的分布列

4.分布列的两个性质： ⑴Pi≥0，i＝1，2，…；⑵P1+P2+…=1.

二、引入新课

根据已知随机变量的分布列，我们可以方便的得出随机变量的某些特定的概率，也就掌握了随机变量取值的统计规律。但分布列的用途远不止于此，

问题1：已知某射手射击所得环数X的分布列如下

在n次射击之前，可以根据这个分布列估计n次射击的平均环数.这就是我们今天要学习的离散型随机变量的均值或期望

问题2：如何估计该射手n次射击的平均环数？

根据射手射击所得环数X的分布列，

我们可以估计，在n次射击中，预计大约有

P(X=4)×n=0.02n次得4环；

P(X=5)×n= 0.04n次得5环；

…………

P(X= 1 0)×n= 0.22n次得10环.

故在n次射击的总环数大约为

从而，预计n次射击的平均环数约为

这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的，只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数，它反映了射手射击的平均水平.

对于任一射手，若已知其射击所得环数X的分布列，即已知各个P(X=i)（i=0，1，2，…，10），我们可以同样预计他任意n次射击的平均环数：

三、推进新课

1.均值或数学期望

一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平

注意：

（1）区别X与E(X)

随机变量X是可变的，可取不同的值；

均值E(X)是不变的，它是离散型随机变量的一个特征数，由X的分布列唯一确定，它反映X了取值的平均水平。

（2）区别随机变量的均值与相应数值的算术平均数。

均值表示随机变量在随机试验中取值的平均值，它是概率意义上的平均值，不同于相应数值的算术平均数。

例1口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以X表示取出球的最大号码，求E(X)。

2.均值的性质

（1）若Y=aX+b(a、b是常数)，X是随机变量，则X也是随机变量，它们的分布列为

由此，我们得到了期望的一个性质：E(aX+b) =aEX+b

(2)若X1,X2,…Xn为随机变量，则

例2.袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有个n (n=1,2,3,4)。现从袋中任取一球。X表示所取球的标号。

（1）X求的分布列和均值。

（2）若Y=aX+ 4 ,E(Y)=1,求a的值。

3.几种分布的期望

例3 （2015天津）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.

(I)设A为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A发生的概率；

(II)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.

四、小结

(1)离散型随机变量均值的定义

(2)均值的性质；

（3）几种分布的期望。

五、课后作业：P69 A组1,2,3