例谈高一数学思维的培养
——以高一二次函数恒成立问题为例

许荣好

（江苏省苏州市吴中区江苏省外国语学校，江苏 苏州）

本文是以教学过程中的一道题，在讲解过程中发现的问题为载体，浅谈自己对于恒成立问题中，应该培养学生的几种应对策略.不当之处，敬请指正.

一、问题呈现

若在区间［-1，1］上，g（x）=2x2-（4+a）x+3 的图象恒在 y=2x+7的图象下方，求实数a的取值范围.

解析：此题本意是想考查学生将恒成立问题转化成最值问题，然后再加以解决.

具体如下：因为在区间［-1，1］上，y=g（x）的图象恒在 y=2x+7的图象下方，所以 g（x）＜2x+7 在区间［-1，1］上恒成立，从而 2x2-（4+a）x+3＜2x+7 在区间［-1，1］上恒成立，即 2x2-（6+a）x-4＜0 在区间［-1，1］上恒成立.令 h（x）=2x2-（6+a）x-4，本意是想让学生将上述问题转化成 h（x）max＜0.然后求出函数在区间［-1，1］上的最大值，通过求出的结果可以发现，最大值只在x=1或-1处取得，进而将问题总结成最后再求出a的取值范围.

但是学生在求解过程中，往往也没有考虑很多，直接将计算其实这解题过程中就没有深入的思考,他们只是单纯地代入计算，并没有进行严格的思考.虽然他们写出了正确答案，但是他们其实是没有完全理解本题的意义.

对于此类问题在解题过程中，想要培养学生能够清楚地理解二次函数的本质，在通过研究对称轴和区间位置的关系后，将问题转化成函数最值问题.学生数学思维模式的养成，需要通过教师不断的引导和讲解.

二、处理恒成立问题的应对策略

为了培养学生正确应对二次函数恒成立问题，培养正确的数学思维方式，本人在班级开展了一节专题课，一直能培养学生正确的思维能力.常见的二次函数恒成立问题，大致可分两类，一类是函数的定义域为R；一类是给定区间（m，n）.对于定义域R为的情形，我们通常采用二次函数根的判别式法.对于给定区间（m，n）的情形，我们主要转化为函数的最值.

探究：定义域为R

策略一：数形结合

通过数与形的相互转化来解决问题的思想成为数形结合思想.数形结合思想是解决定义域为R时恒成立问题最重要的方法.

例1 已知关于x的不等式x2-mx+1＜0的解是一切实数，则m的取值范围.

生：根据函数图象的特点，函数图象在x轴的上方.

师：很好!这位同学借助了二次函数的图象，将问题转化了图象特点.但是我们该如何用式子表达呢？

生：图象都在 x轴的上方，所以 Δ=m2-4＜0，即-2＜m＜2

师：这位同学的解法很值得我们参考，我们可以根据函数的图象，利用判别式来求解问题.下面将此题稍加修改，请大家迅速解决.

变式：已知关于 x的不等式（m-2）x2+2（m-2）x+4＞0 的解集是R，求m的取值范围.

生：同上法，根据函数的判别式，求出变量的范围.

师：同学们，你们觉得此类解法正确吗？

生：不正确，忽略了二次项系数等于0的情形，要分情况解答.当 m-2=0，即 m=2时，4＞0对∀x∈R恒成立，满足题意；当 m-2≠0，即m≠2时，设f（x）=（m-2）x2+2（m-2）x+4，x∈R.若（m-2）x2+2（m-2）x+4＞0的解集是R，则f（x）＞0对∀x∈R恒成立.结合函数图象性质可知解得2＜m＜6.综上所述，m 的取值范围为［2，6）.

师：二次项系数含有参数，不能保证上式一定是一元二次不等式，若将它看成函数，也就不能保证它一定是二次函数，故需要分类讨论.

探究：给定区间（m，n）

策略二：等价转化

在求解给定区间二次函数恒成立问题时，通过构造二次函数将不等式问题转化成函数最值问题来解决，正是因为我们研究的对象是二次函数，对于此类问题最值的求解，学生往往容易接受，可以成为解决问题的突破口.

例2在区间［-1，1］上，函数f（x）=2x2-4x+3的图象恒在函数g（x）=2x+2m+1的图象的上方，求m的取值范围.

生：因为函数f（x）=2x2-4x+3的图象恒在函数g（x）=2x+2m+1的图象的上方，所以f（x）＞g（x），即2x2-4x+3＞2x+2m+1，化简得x2-3x-m+1＞0再利用判别式，使Δ＜0即可.

师：这种解法可行吗？

生：方法不对，此题有限制范围，x的取值不是全部实数.应设再求出 h（x）的最小值与 0 比较.由于h（x）的对称轴是所以 h（x）在区间［-1，1］上单调递减，从而所以-1-m＞0，即 m＜-1.

策略三：分离参数

分离参数法是求解参数取值范围的一种常见方法.这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决.

师：有同学有其他想法吗？

生：原不等式可以转化成 m＜x2-3x+1，x∈［-1，1］.若设 μ（x）=x2-3x+1，x∈［-1，1］，则 m＜μ（x）min.事实上，μ（x）在［-1，1］上单调递减，所以 μ（x）min=μ（1）=-1，即 m＜-1.

师：此同学能发现不等式中出现了两个变量，并且已知一个变量的范围，求另一个变量的范围.

数学教学与思维密切相关，数学能力具有一般能力不同的特征.因此，培养学生思维能力是数学教学的重要任务，在培养学生思维能力的过程中，我们既要提供让学生展开思维的空间，让学生在课堂中畅所欲言，激发他们思维的活跃性，还要巧于点拨，使他们学会科学严谨的思考，提高思维的质量；最后，加强学生积极参加数学活动，让他们寻求数学活动的规律，认识数学之美.

［1］陈锋.恒成立问题的处理方法［J］.教师，2017（31）.

［2］崔平社.二次函数中“含参恒成立”问题求解策略［J］.中学数学，2007（3）.