刚体角动量和转动定律的教学讨论

于洪杰

（齐齐哈尔工程学院 基础部，黑龙江 齐齐哈尔 161005）

大学物理教材中一般对刚体定轴转动的角动量与角速度关系表述不是很明确，往往使学生产生错误的理解，另外，在转动定律中对力矩与角加速度关系交代不明确，也使学生对刚体这一章中的物理量理解不透彻.原因可能是，第一，教材中给定的描述使学生迷失方向，产生误解；第二，教学的学时数有限对此问题的阐述带来的限制[1]；第三，教师在授课过程中经常采用类比的讲法，给学生造成一个错觉.本文对刚体这一章涉及的几个物理量之间的关系进行讨论，希望对读者有所借鉴.

1 刚体的角动量

式中，mi为 Pi点的质量→i为该点的速度→i为 Pi点对定点O的位置矢量.

而整个刚体对O的角动量为刚体中各质点对同一点O的角动量的矢量和：

其中，

如果刚体绕固定轴Oz轴转动时，

若和xoy平面垂直的Oz轴为惯量主轴，此时，Lx=-Ixzωz=0，Ly=-Iyzωz=0，Lz=Izzωz，所以，刚体绕定轴转动的角动量为：

式中,Izz为刚体绕定轴转动的转动惯量，ωz为刚体的角速度.

以上讨论可知：

（1）刚体绕固定轴Oz轴转动且Oz轴为惯量主轴时，角动量作为角动量的定义式是欠妥的，教师在授课时应强调，只是在特殊情况下，刚体绕定轴转动的角动量可以表示为一般情况下，刚体定轴转动的角动量和角速度方向并不相同.

（3）刚体是属于质点系的，质点的角动量是相对于某一点而言的，因此刚体的角动量也应相对某一点而言，当刚体的质心在转轴上时，此时，参考点选择在定轴上才有意义，刚体对轴上各点的角动量均有相同的值，此时，可以说“刚体对定轴的角动量”.

2 刚体定轴转动的角动量定理和转动定律

2.1 刚体的合外力矩

整个刚体对O的外力矩为刚体中各质点对同一点O的外力矩的矢量和：

2.2 刚体定轴转动的角动量定理

由角动量的定义式（1），可以求得角动量对时间的变化率为：

在直角坐标系下的分量式为：

将（2）式和（3）式代入（5）式可得下式：

2.3 刚体定轴转动的转动定律

如果刚体绕固定轴Oz轴转动时，

以上讨论可知：

（1）刚体绕固定轴转动时的转动惯量在本质上是刚体定轴转动的角动量定理的一个分量式，所以，有的教材上把转动定律写成是不妥的.如果这样的关系式成立，则该式在x、y、z轴上的分量式应为：

实际上，无论刚体绕定轴转动还是绕定点转动，都不存在这样的表达式.

（2）把刚体绕固定轴的转动定律写成Mz=Izα可以，但改为矢量式有些不妥，标量表达式不等于矢量表达式.

3 结束语

本文对刚体的角动量进行推导，说明刚体定轴转动的角动量和角速度方向并不相同，得出角动量应由（1）式或（2）式来确定.由刚体定轴转动的角动量定理又进一步得出刚体定轴转动的转动定律的表达式，指出用标量方程表达效果更好.

〔1〕周雨青．大学物理教材及教学应重视刚体定轴转动时角动量与角速度的方向关系．物理与工程，2006,2(26)：37-40.

〔2〕马文蔚．物理学教程（第二版）[M]．高等教育出版社，2006.

〔3〕周衍柏．理论力学教程（第三版）[M]．高等教育出版社，2009.