基于拓展微分方程模型的高等教育成本分担

苟灵生，柯什托巴耶娃·阿勒马古丽

（1.西北工业大学明德学院，西安710124；2.西安交通大学管理学院，西安710049）

0 引言

高等教育是一种特殊活动过程和资源耗费。高等教育成本是高等教育活动过程当中所要耗费的教育资源价值，它以有效、有用价值的使用和社会必要劳动耗费所支付的尺度来确定。它具有补偿的多元性、成本与效益的差异性和正外部性等特征。

本文通过微分方程模型的拓展，拟从如下高等教育成本分担相关问题展开探讨：

问题1：高等教育成本的分担是保证了高等教育正常运转，是在个人分担的比例与贫困生的无支付条件之间保持稳定或偏移之间进行均衡。

问题2：高等教育成本正外部性，存在高校收费的极值现象，分担的极小值，极大值和稳定值是国家分担、社会分担和个人分担所占的比例及最优化。

问题3：依据高等教育成本分担的现实状况，高校教育成本能否稳定、提高或者降低收费，取决于高校学生个人分担的教育成本所占比例指数。

1 基于高等教育成本分担概念描述

1.1 高等教育成本的概念

从经济学的角度，教育成本被看成是各高等学校开展教育活动消耗的资源量。而教育异于物质生产领域的活动。高校向学生收取的学费不同于流通领域中商品或服务的价格，学生个人或家庭分担了教育培养成本，这样是对高等学校提供的部分成本补偿。因此，教育成本是指各高等学校开展教育活动消耗的所有资源的价值量。

对高等教育成本的定义，主要取决于定义者的视角和目的。宏观上成本把社会作为一个整体，一切以高等教育为目的活动的产出和结果都作为成本；微观上的成本关注教育机构组织和活动，主要用于形成各种产出的所有经济开支；学生视角的成本定义则包括所有学费、开支及机会成本。

1.2 非竞争性成本分担的收费理论

高等教育由政府公共部门来提供，从“经济人”视角来看，一种产品若是纯粹的私人产品，则由市场运行来满足供求的平衡。市场在提供上如果是失灵的，竞争性的市场不可能达到公共产品的帕累托最优，由于高等教育具有非排他性，所以，每个消费者是否享受到公共产品的好处，每个消费者都要付费。

高等教育成本主要分为以下几种：

（1）特殊成本：高等教育使用的特殊成本包括教职员工的工资、额外福利、差旅以及燃油费等。经过换算全日制学生、图书馆、实验室、计算机、以及用于教学、科研和服务产出的资源。

（2）活动投入：包括高校学生注册管理成本、教学研究成本、学生服务成本以及建筑物维护费用等。

（3）部门成本：根据组织单位来划分，比如说系、学院或整个学校各职能部门支出。

（4）归属性成本：成本按照其归属也可以分为直接成本、间接成本和全成本。直接成本是可以直接归属到某一特定组织单位的成本；间接成本主要用于转移支付、资金合作等，导致目标成本从一个单位转嫁到别的单位；全成本指一个单位的目标成本再加上从其他单位结转而来的成本之和。

（5）变化成本：成本可以按照变化程度分为固定和可变成本。固定成本是指不随活动变化的资源成本，可变成本是指直接随着活动水平（如学生数量或者产量）变化的资源成本。

（6）产出成本：这类成本指标主要包括学分、毕业数量、研究出版量、超常规服务产出等。

2 高等教育成本分担的影响因素

2.1 高等教育成本分担的稳定因素

一个高等学校的主要教育支出是由政府所分担的教育成本比例中，一是政府部门的财政预算，二是高校受教育者个人的分担部分的所占教育成本比例，三是高等学校一部分贫困生无支付能力与较高的高等教育收取的学费所决定的，大量事实证明，提高高等教育成本效率措施是使每个高等学校都尽量筹措资金，然后将资金筹集到高等学校教育的效益最大化和质量上来。高等学校考虑贫困生支付能力、高等学校收取学费都是保持或者稳定高等教育成本的充分必要条件。

在这些影响因素中，高等学校的学术项目规模、学术项目类型（主要指硕士生、博士生培养）都对高等教育成本具有很大影响。此外，高等学校人事津贴、服务质量也可能对教育成本有重要影响。

从市场经济地位来看，高等教育的付费使得受教育者获得最广泛的、与他人相同的自由，获得的优等的待遇、地位、职位和利益，相对于政府部门来说，他们的主要目标是政府的财政效率优先投资到教育领域，同时，他们也会考虑到个人与他人相应地兼顾相同的自由公平的教育机会。

2.2 高等教育的成本分担的函数因素

目前，中国高校办学经费的筹集仍是以国家投资为主，私人和其他社会力量投资相结合的模式，这与过去国家“包办”的模式有区别。从社会主义市场经济理论方面来看，目前高等教育实行成本补偿和分摊制度是有必要的。而到目前为止，国家对高等教育经费投入绝对量不断增加，政府所分担的教育成本比例中财政预算、受教育者个人所分担的教育成本比例明显呈上升趋势。本文通过总成本、投入、产出为理论因素建立研究高等教育成本函数。成本函数反映了成本和产出之间的关系，总成本是关于一系列产出的函数，当投入要素给定（a），生产一定水平的产出（y）所需的最小成本可以由该函数式得到。教育成本函数如下：

其中，C代表生产产出向量y所需的总成本，a是投入的价格向量。由于企业使用的投入要素（如高等教育教职工工资福利待遇）会影响总成本，成本和生产投入要素有关，因此，该函数还可以被写做：

其中，C是生产一定水平的产出y的总成本，x(x1、x2、x3……xn)是投入要素数量的向量（数量组合），a是各种投入要素向量，如，政府所分担的教育成本比例中财政预算、受教育者个人所分担的教育成本比例等。

有效的高等学校的经营是效率与质量的统一。高等学校作为独立主体在生产教育服务产品时教育投入产出后的经济效益，即是指高等学校教育资源的投入与产出比较的极小值，极大值，也就是高等学校经营过程中生产和销售教育服务产品后获得的经济收益，正外部性和稳定值。

3 基于高等教育成本分担的微分方程模型

3.1 变量说明

N：高校在校学生数

α(N)：政府分担比例函数

β(N)：社会分担比例函数

γ(N)：个人所分担比例函数

R(N)：学费关于人数的函数

P(N)：高等学校贫困生无支付能力函数

σ：关于g(γ(N))的比例系数

δ：关于γ(N)的比例系数

g(y(N))：贫困生无支付能力的大小关于y(N)的函数

f(R(N))：受教育者个人分担的教育成本比例关于高校的学费R(N)的函数

g(R(N))：贫困生无支付能力的大小关于高校的学费R(N)的函数

3.2 模型建立

根据高等成本分担理论和微分方程变量关系，现以某高校每年的学费为单位，校学生人数N为连续变量，确定影响高等教育成本变化的函数关系，如，由政府部门，社会和受教育者个人所分担，高等教育成本比例可以成为为N的函数，函数关系表述如下：α(N),β(N),γ(N)，所以有：

或者

由式（1）中，可知，一个封闭的高等教育成本系统，或政府部门的投入、社会捐资本的捐助、个人分担所占的教育成本比例与整个办学开资比例是有关联的。根据高等教育成本内在的机理分析，一方面，政府部门的投入和社会捐资本的捐助一旦减少或赤字时，个人分担所占的教育成本比例毫无疑问要增加很多，而政府部门增加了投入或者社会捐资相应增长时，个人分担的成本一定比例就相应减少。在国家对贫困生资助一定时，当政府规定分担的人均教育成本较低时，有利于高校扩大自主招生规模。所以个人分担高等教育成本比例增长，高校的生源的扩大也缓慢增长，高校的招生规模可以超过政府的规模，并且收费增长得较慢，这是一种较好的确定各种量之间的平衡与博弈的高校学费模型。

由此，高等教育成本收费补偿的必要性原则，如式（2），有：学费与人数的函数的影响R(N)，是由主要因素为γ(N)和P(N)决定。如果γ(N)越来越高，则R(N)就越来越高；另外，高等学校贫困生无支付能力P(N)越大，而我们越是要我们来想办法降低R(N)。因此，可假设R(N)的变化率与γ(N)是成正的线性相关，而与P(N)是成负的线性相关，于是，就得到了描述高校学费问题的微分方程模型：

其中，是比例系数。

利用微分值相关分析，可以得到高校扩大招生人数的预估值，其实，各高校一定要想达到自己预定的招生目标，高校的学费标准和政府部门投入是保障状态稳定平衡，政府部门的投入（比例系数）很关键，而且当高等教育成本低时，政府规定的高校招生基数可控制在一个较大的范围内。

3.3 模型分析

求解微分方程的通解及满足定解的条件。由于高校贫困生的大量存在，要尽量减少无支付能力、辍学和教育不公，根据学生家庭收入水平的不同，高校贫困生个人分担的γ(N)的单调增加趋势，所以有P(N)=g(γ(N))，如g(γ(N))是一个单调线性增加函数式，可以设g’，它表示贫困生无支付能力的大小关于高校的学费R(N)的函数增长率关系。有关于高校收费的微分方程模式：

进一步说明，现实中实际上受教育这个人分担的教育成本比例和贫困生无支付能力的大小关于高校的学费R(N)的函数是直接关联的函数关系。

如：

其中，f′(R(N))≥0,g′(R(N))≥0。则得到高校学费问题的微分模型：

从式（3）可知，学费R(N)为常数的充要条件是：

高等教育成本分担其相关因素变化给高等教育成本分担带来的影响，在政府规定的招生基数上扩大招生时，要综合考虑政府的人均分担、贫困生的人均未支付的费用、高校的收费和生均投入学费的相关性，学生学费的承受力和高校收费的情况，因而，要能够考虑宏观调控学费，并在相关因素变化时，稳定收费等的一些方案。

4 结论

微分方程模型所描述的研究对象固有特性会随空间（或时间）而演变，是动态的，这表明，一方面是个人分担不变时，要增加国家、社会对未能支付学费贫困学生的人均补贴，能减少贫困生的人均未支付的费用。保持收费不变的充要条件是：要在个人成本分担比例γ(N)和贫困生的无支付能力gγ(N))之间来平衡。为实现平衡，就要求方程（6）有正根N0，因而在校学生人数N0和个人分担的教育成本比例γ0=γ(N0)是确定的。根据模型（6）这都是通过增加这一因素来调节学费的具体表现。

目前，我国将个人分担的教育成本比例的上限为25%，而高校中贫困生的比例为30%，容易使学费标准超过个人分担的教育成本的比例的上限，或者通过学费补偿部分（政府投入）。现实中，各高校一方面想扩大招生规模和数量，一方面也想争取降低高等教育成本的分担，想尽量照顾大多数人的利益来弥补不平衡。

本文认为，高等教育提高了社会效益和人力资本效益，也就是改进中的“帕累托最优”状态的效率原则，以高等教育成本的例子，可以看到成本分担的本质，变量、成本的正外部性，影响因素、变量关系、博弈与均衡的视角定性描述，应用拓展的微分方程模型是这些矛盾体的相互转化，分析得出保持或稳定高等教育成本分担的几个条件。而对高等教育的公平、成本、效率的原则引起关注。高等教育成本标准达到极值（最大承受力）时，整个社会的高等教育产品是效率和公平事项实现了最优化，那么高等教育是基于高等教育成本分担的收费理论而存在的。

进一步，保持高校学费不变的充分条件：

（1）高等教育收费达到极值就引起成本系统的改变。

（2）高等教育成本是高校系统内部自我发展所引起的。

（3）高等教育成本分担的关系是贫困生有无支付能力的增长率。

（4）高等教育成本分担系统具有外部作用与自身变化的机理。

[1]西奥多舒尔茨.论人力资本投资[M].北京:商务印书馆,1990.

[2]科恩.教育经济学[M].王玉昆译.上海：华东师范大学出版社，2009.

[3]布鲁斯·约翰斯通.高等教育财政：问题与出路[M].马库齐，沈红,李红桃,孙涛译.北京:人民教育出版社，2014.

[4]布鲁斯·约翰斯顿.高等教育成本分担中的财政与政治[J].比较教育研究,2002,(1).

[5]马钰莹.中国高等教育成本分担研究[J].吉林省教育学院学报,2014,30(10).

[6]张力.2007年中国教育绿皮书：中国教育政策年度分析报告[M].北京：教育科学出版社，2007.